MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdcnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdcnlem 22840
Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xmetdcn2.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
xmetdcn2.2 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
xmetdcn2.3 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
metdcn.d (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metdcn.a (𝜑𝐴𝑋)
metdcn.b (𝜑𝐵𝑋)
metdcn.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
metdcn.y (𝜑𝑌𝑋)
metdcn.z (𝜑𝑍𝑋)
metdcn.4 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) < (𝑅 / 2))
metdcn.5 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) < (𝑅 / 2))
Assertion
Ref Expression
metdcnlem (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < 𝑅)

Proof of Theorem metdcnlem
StepHypRef Expression
1 xmetdcn2.2 . . . . 5 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
21xrsxmet 22813 . . . 4 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)
32a1i 11 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*))
4 metdcn.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 metdcn.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
6 metdcn.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑋)
7 xmetcl 22337 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
84, 5, 6, 7syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
9 metdcn.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑋)
10 metdcn.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑋)
11 xmetcl 22337 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑍𝑋) → (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
124, 9, 10, 11syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
13 xmetcl 22337 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝐵𝑋) → (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
144, 9, 6, 13syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
15 metdcn.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
1615rphalfcld 12077 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
1716rpred 12065 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
18 xmetcl 22337 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
193, 8, 14, 18syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
20 xmetcl 22337 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑌𝑋) → (𝐴𝐷𝑌) ∈ ℝ*)
214, 5, 9, 20syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) ∈ ℝ*)
2216rpxrd 12066 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ*)
231xmetrtri2 22362 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝑌𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝑌))
244, 5, 9, 6, 23syl13anc 1479 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝑌))
25 metdcn.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) < (𝑅 / 2))
2619, 21, 22, 24, 25xrlelttrd 12184 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) < (𝑅 / 2))
27 xrltle 12175 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ*) → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) < (𝑅 / 2) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝑅 / 2)))
2819, 22, 27syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) < (𝑅 / 2) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝑅 / 2)))
2926, 28mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝑅 / 2))
30 xmetlecl 22352 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝑅 / 2))) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ)
313, 8, 14, 17, 29, 30syl122anc 1486 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ)
32 xmetcl 22337 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ*)
333, 14, 12, 32syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ*)
34 xmetcl 22337 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝑍𝑋) → (𝐵𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
354, 6, 10, 34syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
36 xmetsym 22353 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝐵𝑋) → (𝑌𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝑌))
374, 9, 6, 36syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝑌))
38 xmetsym 22353 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑍𝑋) → (𝑌𝐷𝑍) = (𝑍𝐷𝑌))
394, 9, 10, 38syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌𝐷𝑍) = (𝑍𝐷𝑌))
4037, 39oveq12d 6831 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) = ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)))
411xmetrtri2 22362 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐵𝑋𝑍𝑋𝑌𝑋)) → ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
424, 6, 10, 9, 41syl13anc 1479 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
4340, 42eqbrtrd 4826 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
44 metdcn.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) < (𝑅 / 2))
4533, 35, 22, 43, 44xrlelttrd 12184 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < (𝑅 / 2))
46 xrltle 12175 . . . . . . 7 ((((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ* ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ*) → (((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < (𝑅 / 2) → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝑅 / 2)))
4733, 22, 46syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < (𝑅 / 2) → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝑅 / 2)))
4845, 47mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝑅 / 2))
49 xmetlecl 22352 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝑅 / 2))) → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
503, 14, 12, 17, 48, 49syl122anc 1486 . . . 4 (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
5131, 50readdcld 10261 . . 3 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) ∈ ℝ)
52 xmettri 22357 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
533, 8, 12, 14, 52syl13anc 1479 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
54 rexadd 12256 . . . . 5 ((((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ) → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) = (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
5531, 50, 54syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) = (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
5653, 55breqtrd 4830 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
57 xmetlecl 22352 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) ∧ ((((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
583, 8, 12, 51, 56, 57syl122anc 1486 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
5915rpred 12065 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
6031, 50, 59, 26, 45lt2halvesd 11472 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) < 𝑅)
6158, 51, 59, 56, 60lelttrd 10387 1 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  cr 10127   + caddc 10131  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267   / cdiv 10876  2c2 11262  +crp 12025   +𝑒 cxad 12137  distcds 16152  *𝑠cxrs 16362  ∞Metcxmt 19933  MetOpencmopn 19938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-icc 12375  df-fz 12520  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-xrs 16364  df-xmet 19941
This theorem is referenced by:  xmetdcn2  22841
  Copyright terms: Public domain W3C validator