Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcld2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metcld2 23323
 Description: A subset of a metric space is closed iff every convergent sequence on it converges to a point in the subset. Theorem 1.4-6(b) of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
metcld.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
metcld2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) ⊆ 𝑆))

Proof of Theorem metcld2
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcld.2 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21metcld 23322 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ∀𝑥𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆)))
3 19.23v 2022 . . . . 5 (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆) ↔ (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆))
4 vex 3352 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
54elima2 5613 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑆𝑚 ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥))
6 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝑋𝑆𝑋)
7 elfvdm 6361 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
8 ssexg 4935 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝑋𝑋 ∈ dom ∞Met) → 𝑆 ∈ V)
96, 7, 8syl2anr 576 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆 ∈ V)
10 nnex 11227 . . . . . . . . . 10 ℕ ∈ V
11 elmapg 8021 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝑆𝑚 ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝑆))
129, 10, 11sylancl 566 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝑓 ∈ (𝑆𝑚 ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶𝑆))
1312anbi1d 607 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ((𝑓 ∈ (𝑆𝑚 ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
1413exbidv 2001 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑆𝑚 ℕ) ∧ 𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
155, 14syl5rbb 273 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) ↔ 𝑥 ∈ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ))))
1615imbi1d 330 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ((∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆) ↔ (𝑥 ∈ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) → 𝑥𝑆)))
173, 16syl5bb 272 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆) ↔ (𝑥 ∈ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) → 𝑥𝑆)))
1817albidv 2000 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑥𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) → 𝑥𝑆)))
19 dfss2 3738 . . 3 (((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) → 𝑥𝑆))
2018, 19syl6bbr 278 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑥𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆) ↔ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) ⊆ 𝑆))
212, 20bitrd 268 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((⇝𝑡𝐽) “ (𝑆𝑚 ℕ)) ⊆ 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382  ∀wal 1628   = wceq 1630  ∃wex 1851   ∈ wcel 2144  Vcvv 3349   ⊆ wss 3721   class class class wbr 4784  dom cdm 5249   “ cima 5252  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792   ↑𝑚 cmap 8008  ℕcn 11221  ∞Metcxmt 19945  MetOpencmopn 19950  Clsdccld 21040  ⇝𝑡clm 21250 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cc 9458  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-card 8964  df-acn 8967  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-fz 12533  df-topgen 16311  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-top 20918  df-topon 20935  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-lm 21253  df-1stc 21462 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator