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Theorem mertenslem1 14736
Description: Lemma for mertens 14738. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mertens.1 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = 𝐴)
mertens.2 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
mertens.3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
mertens.4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
mertens.5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
mertens.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(𝐴 · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
mertens.7 (𝜑 → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
mertens.8 (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
mertens.9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
mertens.10 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))}
mertens.11 (𝜓 ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
mertens.12 (𝜑 → (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))))
mertens.13 (𝜑 → (0 ≤ sup(𝑇, ℝ, < ) ∧ (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧)))
Assertion
Ref Expression
mertenslem1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑚,𝑛,𝑠,𝑡,𝑦,𝑧,𝐵   𝑗,𝑘,𝐺,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚,𝑦,𝑧   𝑡,𝑘,𝐴,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦   𝑗,𝐸,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑡,𝑦,𝑧   𝑗,𝐾,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑡,𝑦,𝑧   𝑗,𝐹,𝑚,𝑛,𝑦   𝜓,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑡,𝑦,𝑧   𝑤,𝑗,𝑇,𝑘,𝑚,𝑛,𝑡,𝑦,𝑧   𝑘,𝐻,𝑚,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑡,𝑛,𝑠)   𝜓(𝑤,𝑠)   𝐴(𝑧,𝑤,𝑗)   𝐵(𝑤,𝑘)   𝑇(𝑠)   𝐸(𝑤)   𝐹(𝑧,𝑤,𝑡,𝑘,𝑠)   𝐺(𝑤,𝑡)   𝐻(𝑧,𝑤,𝑡,𝑗,𝑛,𝑠)   𝐾(𝑤)

Proof of Theorem mertenslem1
StepHypRef Expression
1 mertens.12 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))))
21simpld 477 . . . . . 6 (𝜑𝜓)
3 mertens.11 . . . . . 6 (𝜓 ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
42, 3sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
54simpld 477 . . . 4 (𝜑𝑠 ∈ ℕ)
65nnnn0d 11464 . . 3 (𝜑𝑠 ∈ ℕ0)
71simprd 482 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
87simpld 477 . . 3 (𝜑𝑡 ∈ ℕ0)
96, 8nn0addcld 11468 . 2 (𝜑 → (𝑠 + 𝑡) ∈ ℕ0)
10 fzfid 12887 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...𝑚) ∈ Fin)
11 simpl 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝜑)
12 elfznn0 12547 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (0...𝑚) → 𝑗 ∈ ℕ0)
13 mertens.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
1411, 12, 13syl2an 495 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → 𝐴 ∈ ℂ)
15 eqid 2724 . . . . . . . 8 (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1)) = (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))
16 fznn0sub 12487 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0...𝑚) → (𝑚𝑗) ∈ ℕ0)
1716adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (𝑚𝑗) ∈ ℕ0)
18 peano2nn0 11446 . . . . . . . . . 10 ((𝑚𝑗) ∈ ℕ0 → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℕ0)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℕ0)
2019nn0zd 11593 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℤ)
21 simplll 815 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝜑)
22 eluznn0 11871 . . . . . . . . . 10 ((((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2319, 22sylan 489 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24 mertens.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
2521, 23, 24syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
26 mertens.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
2721, 23, 26syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
28 mertens.8 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
2928ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
30 nn0uz 11836 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
31 simpll 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → 𝜑)
3224, 26eqeltrd 2803 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3331, 32sylan 489 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3430, 19, 33iserex 14507 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq((𝑚𝑗) + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
3529, 34mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → seq((𝑚𝑗) + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
3615, 20, 25, 27, 35isumcl 14612 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵 ∈ ℂ)
3714, 36mulcld 10173 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℂ)
3810, 37fsumcl 14584 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℂ)
3938abscld 14295 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
4037abscld 14295 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
4110, 40fsumrecl 14585 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
42 mertens.9 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
4342rpred 11986 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
4443adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝐸 ∈ ℝ)
4510, 37fsumabs 14653 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)))
46 fzfid 12887 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...(𝑚𝑠)) ∈ Fin)
476adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
4847nn0ge0d 11467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 0 ≤ 𝑠)
49 eluzelz 11810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡)) → 𝑚 ∈ ℤ)
5049adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ ℤ)
5150zred 11595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ ℝ)
5247nn0red 11465 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ ℝ)
5351, 52subge02d 10732 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0 ≤ 𝑠 ↔ (𝑚𝑠) ≤ 𝑚))
5448, 53mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ≤ 𝑚)
5547, 30syl6eleq 2813 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ (ℤ‘0))
565nnzd 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑠 ∈ ℤ)
57 uzid 11815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℤ → 𝑠 ∈ (ℤ𝑠))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑠 ∈ (ℤ𝑠))
59 uzaddcl 11858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ (ℤ𝑠) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) → (𝑠 + 𝑡) ∈ (ℤ𝑠))
6058, 8, 59syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑠 + 𝑡) ∈ (ℤ𝑠))
61 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑠) = (ℤ𝑠)
6261uztrn2 11818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 + 𝑡) ∈ (ℤ𝑠) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑠))
6360, 62sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑠))
64 elfzuzb 12450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑠 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑠)))
6555, 63, 64sylanbrc 701 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ (0...𝑚))
66 fznn0sub2 12561 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (0...𝑚) → (𝑚𝑠) ∈ (0...𝑚))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ (0...𝑚))
68 elfzelz 12456 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚𝑠) ∈ (0...𝑚) → (𝑚𝑠) ∈ ℤ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ ℤ)
70 eluz 11814 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑚𝑠) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑚𝑠)) ↔ (𝑚𝑠) ≤ 𝑚))
7169, 50, 70syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑚𝑠)) ↔ (𝑚𝑠) ≤ 𝑚))
7254, 71mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑚𝑠)))
73 fzss2 12495 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑚𝑠)) → (0...(𝑚𝑠)) ⊆ (0...𝑚))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...(𝑚𝑠)) ⊆ (0...𝑚))
7574sselda 3709 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑗 ∈ (0...𝑚))
7613abscld 14295 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7711, 12, 76syl2an 495 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7836abscld 14295 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ)
7977, 78remulcld 10183 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
8075, 79syldan 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
8146, 80fsumrecl 14585 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
82 fzfid 12887 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) ∈ Fin)
83 elfznn0 12547 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚𝑠) ∈ (0...𝑚) → (𝑚𝑠) ∈ ℕ0)
8467, 83syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ ℕ0)
85 peano2nn0 11446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚𝑠) ∈ ℕ0 → ((𝑚𝑠) + 1) ∈ ℕ0)
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑚𝑠) + 1) ∈ ℕ0)
8786, 30syl6eleq 2813 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑚𝑠) + 1) ∈ (ℤ‘0))
88 fzss1 12494 . . . . . . . . . 10 (((𝑚𝑠) + 1) ∈ (ℤ‘0) → (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) ⊆ (0...𝑚))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) ⊆ (0...𝑚))
9089sselda 3709 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑗 ∈ (0...𝑚))
9190, 79syldan 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
9282, 91fsumrecl 14585 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
9342rphalfcld 11998 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
9493rpred 11986 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
9594adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
96 elfznn0 12547 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
9711, 96, 76syl2an 495 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9846, 97fsumrecl 14585 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9998, 95remulcld 10183 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
100 0zd 11502 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
101 eqidd 2725 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (𝐾𝑗))
102 mertens.2 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
103102, 76eqeltrd 2803 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
104 mertens.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
10530, 100, 101, 103, 104isumrecl 14616 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
10613absge0d 14303 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
107106, 102breqtrrd 4788 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐾𝑗))
10830, 100, 101, 103, 104, 107isumge0 14617 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗))
109105, 108ge0p1rpd 12016 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
110109adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
11199, 110rerpdivcld 12017 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
11293, 109rpdivcld 12003 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ+)
113112rpred 11986 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
114113ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
11597, 114remulcld 10183 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))) ∈ ℝ)
11675, 20syldan 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℤ)
117 simplll 815 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝜑)
11875, 19syldan 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℕ0)
119118, 22sylan 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
120117, 119, 24syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
121117, 119, 26syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
12275, 35syldan 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → seq((𝑚𝑗) + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
12315, 116, 120, 121, 122isumcl 14612 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵 ∈ ℂ)
124123abscld 14295 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ)
12576, 106jca 555 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
12611, 96, 125syl2an 495 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
127120sumeq2dv 14553 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)
128127fveq2d 6308 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))
129 elfzelz 12456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠)) → 𝑗 ∈ ℤ)
130129adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑗 ∈ ℤ)
131130zred 11595 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑗 ∈ ℝ)
13249ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑚 ∈ ℤ)
133132zred 11595 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑚 ∈ ℝ)
13456ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑠 ∈ ℤ)
135134zred 11595 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑠 ∈ ℝ)
136 elfzle2 12459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠)) → 𝑗 ≤ (𝑚𝑠))
137136adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑗 ≤ (𝑚𝑠))
138131, 133, 135, 137lesubd 10744 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑠 ≤ (𝑚𝑗))
139132, 130zsubcld 11600 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (𝑚𝑗) ∈ ℤ)
140 eluz 11814 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ ℤ ∧ (𝑚𝑗) ∈ ℤ) → ((𝑚𝑗) ∈ (ℤ𝑠) ↔ 𝑠 ≤ (𝑚𝑗)))
141134, 139, 140syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((𝑚𝑗) ∈ (ℤ𝑠) ↔ 𝑠 ≤ (𝑚𝑗)))
142138, 141mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (𝑚𝑗) ∈ (ℤ𝑠))
1434simprd 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
144143ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
145 oveq1 6772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = (𝑚𝑗) → (𝑛 + 1) = ((𝑚𝑗) + 1))
146145fveq2d 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑚𝑗) → (ℤ‘(𝑛 + 1)) = (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1)))
147146sumeq1d 14551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝑚𝑗) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘))
148147fveq2d 6308 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑚𝑗) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)))
149148breq1d 4770 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑚𝑗) → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
150149rspcv 3409 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚𝑗) ∈ (ℤ𝑠) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
151142, 144, 150sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
152128, 151eqbrtrrd 4784 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
153124, 114, 152ltled 10298 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
154 lemul2a 10991 . . . . . . . . . 10 ((((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
155124, 114, 126, 153, 154syl31anc 1442 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
15646, 80, 115, 155fsumle 14651 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
15798recnd 10181 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) ∈ ℂ)
15893rpcnd 11988 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℂ)
159158adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝐸 / 2) ∈ ℂ)
160 peano2re 10322 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) ∈ ℝ → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ)
161105, 160syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ)
162161recnd 10181 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℂ)
163162adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℂ)
164109rpne0d 11991 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ≠ 0)
165164adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ≠ 0)
166157, 159, 163, 165divassd 10949 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
167 fveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑗 → (𝐾𝑛) = (𝐾𝑗))
168167cbvsumv 14546 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗)
169168oveq1i 6775 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1) = (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)
170169oveq2i 6776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1)) = ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))
171170, 112syl5eqel 2807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1)) ∈ ℝ+)
172171rpcnd 11988 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
173172adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
17476recnd 10181 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
17511, 96, 174syl2an 495 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
17646, 173, 175fsummulc1 14637 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))))
177170oveq2i 6776 . . . . . . . . . 10 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
178170oveq2i 6776 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))) = ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
179178a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠)) → ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))) = ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
180179sumeq2i 14549 . . . . . . . . . 10 Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
181176, 177, 1803eqtr3g 2781 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
182166, 181eqtrd 2758 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
183156, 182breqtrrd 4788 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
184105adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
185161adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ)
186 0zd 11502 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 0 ∈ ℤ)
187 fz0ssnn0 12549 . . . . . . . . . . . . 13 (0...(𝑚𝑠)) ⊆ ℕ0
188187a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...(𝑚𝑠)) ⊆ ℕ0)
189102adantlr 753 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
19076adantlr 753 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
191106adantlr 753 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
192104adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
19330, 186, 46, 188, 189, 190, 191, 192isumless 14697 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘𝐴))
194102sumeq2dv 14553 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘𝐴))
195194adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘𝐴))
196193, 195breqtrrd 4788 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗))
197105ltp1d 11067 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))
198197adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))
19998, 184, 185, 196, 198lelttrd 10308 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))
20093rpregt0d 11992 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐸 / 2)))
201200adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐸 / 2)))
202 ltmul1 10986 . . . . . . . . . 10 ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐸 / 2))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ↔ (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) · (𝐸 / 2))))
20398, 185, 201, 202syl3anc 1439 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ↔ (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) · (𝐸 / 2))))
204199, 203mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) · (𝐸 / 2)))
205109rpregt0d 11992 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
206205adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
207 ltdivmul 11011 . . . . . . . . 9 (((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))) → (((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) < (𝐸 / 2) ↔ (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) · (𝐸 / 2))))
20899, 95, 206, 207syl3anc 1439 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) < (𝐸 / 2) ↔ (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) · (𝐸 / 2))))
209204, 208mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) < (𝐸 / 2))
21081, 111, 95, 183, 209lelttrd 10308 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < (𝐸 / 2))
211 mertens.13 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 ≤ sup(𝑇, ℝ, < ) ∧ (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧)))
212211simprd 482 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧))
213 suprcl 11096 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
214212, 213syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
21594, 214remulcld 10183 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℝ)
216211simpld 477 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ sup(𝑇, ℝ, < ))
217214, 216ge0p1rpd 12016 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ+)
218215, 217rerpdivcld 12017 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ)
219218adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ)
2205nnrpd 11984 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑠 ∈ ℝ+)
22193, 220rpdivcld 12003 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / 𝑠) ∈ ℝ+)
222221, 217rpdivcld 12003 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ+)
223222rpred 11986 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ)
224223, 214remulcld 10183 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℝ)
225224ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℝ)
226 simpll 807 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝜑)
22790, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
228226, 227, 76syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
229223ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ)
230226, 227, 102syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
231 elfzuz 12452 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) → 𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑠) + 1)))
232 eluzle 11813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡)) → (𝑠 + 𝑡) ≤ 𝑚)
233232adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑠 + 𝑡) ≤ 𝑚)
2348nn0zd 11593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑡 ∈ ℤ)
235234adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑡 ∈ ℤ)
236235zred 11595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑡 ∈ ℝ)
23752, 236, 51leaddsub2d 10742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑠 + 𝑡) ≤ 𝑚𝑡 ≤ (𝑚𝑠)))
238233, 237mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑡 ≤ (𝑚𝑠))
239 eluz 11814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑡 ∈ ℤ ∧ (𝑚𝑠) ∈ ℤ) → ((𝑚𝑠) ∈ (ℤ𝑡) ↔ 𝑡 ≤ (𝑚𝑠)))
240235, 69, 239syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑚𝑠) ∈ (ℤ𝑡) ↔ 𝑡 ≤ (𝑚𝑠)))
241238, 240mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ (ℤ𝑡))
242 peano2uz 11855 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚𝑠) ∈ (ℤ𝑡) → ((𝑚𝑠) + 1) ∈ (ℤ𝑡))
243241, 242syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑚𝑠) + 1) ∈ (ℤ𝑡))
244 uztrn 11817 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑠) + 1)) ∧ ((𝑚𝑠) + 1) ∈ (ℤ𝑡)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑡))
245231, 243, 244syl2anr 496 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑡))
2467simprd 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
247246ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
248 fveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑗 → (𝐾𝑚) = (𝐾𝑗))
249248breq1d 4770 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑗 → ((𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ↔ (𝐾𝑗) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
250249rspcv 3409 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑡) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) → (𝐾𝑗) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
251245, 247, 250sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝐾𝑗) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
252230, 251eqbrtrrd 4784 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘𝐴) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
253228, 229, 252ltled 10298 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘𝐴) ≤ (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
254212ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧))
25551adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
256 peano2zm 11533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℤ → (𝑠 − 1) ∈ ℤ)
25756, 256syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑠 − 1) ∈ ℤ)
258257zred 11595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑠 − 1) ∈ ℝ)
259258ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑠 − 1) ∈ ℝ)
260227nn0red 11465 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑗 ∈ ℝ)
26150zcnd 11596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ ℂ)
26252recnd 10181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ ℂ)
263 1cnd 10169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 1 ∈ ℂ)
264261, 262, 263subsubd 10533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚 − (𝑠 − 1)) = ((𝑚𝑠) + 1))
265264adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚 − (𝑠 − 1)) = ((𝑚𝑠) + 1))
266 elfzle1 12458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) → ((𝑚𝑠) + 1) ≤ 𝑗)
267266adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((𝑚𝑠) + 1) ≤ 𝑗)
268265, 267eqbrtrd 4782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚 − (𝑠 − 1)) ≤ 𝑗)
269255, 259, 260, 268subled 10743 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚𝑗) ≤ (𝑠 − 1))
27090, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚𝑗) ∈ ℕ0)
271270, 30syl6eleq 2813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚𝑗) ∈ (ℤ‘0))
272257ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑠 − 1) ∈ ℤ)
273 elfz5 12448 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚𝑗) ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝑠 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑚𝑗) ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↔ (𝑚𝑗) ≤ (𝑠 − 1)))
274271, 272, 273syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((𝑚𝑗) ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↔ (𝑚𝑗) ≤ (𝑠 − 1)))
275269, 274mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚𝑗) ∈ (0...(𝑠 − 1)))
276 simplll 815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝜑)
27790, 19syldan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℕ0)
278277, 22sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
279276, 278, 24syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
280279sumeq2dv 14553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)
281280eqcomd 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵 = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘))
282281fveq2d 6308 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)))
283148eqeq2d 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑚𝑗) → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘))))
284283rspcev 3413 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚𝑗) ∈ (0...(𝑠 − 1)) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘))) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
285275, 282, 284syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
286 fvex 6314 . . . . . . . . . . . . 13 (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ V
287 eqeq1 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) → (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
288287rexbidv 3154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
289 mertens.10 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))}
290286, 288, 289elab2 3459 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ 𝑇 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
291285, 290sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ 𝑇)
292 suprub 11097 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ 𝑇) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ sup(𝑇, ℝ, < ))
293254, 291, 292syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ sup(𝑇, ℝ, < ))
294226, 227, 125syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
29590, 78syldan 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ)
29636absge0d 14303 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))
29790, 296syldan 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))
298295, 297jca 555 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)))
299214ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
300 lemul12a 10994 . . . . . . . . . . 11 (((((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) ∧ (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ) ∧ (((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∧ sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)) → (((abs‘𝐴) ≤ (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ sup(𝑇, ℝ, < )) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
301294, 229, 298, 299, 300syl22anc 1440 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (((abs‘𝐴) ≤ (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ sup(𝑇, ℝ, < )) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
302253, 293, 301mp2and 717 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )))
30382, 91, 225, 302fsumle 14651 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )))
304224recnd 10181 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℂ)
305304adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℂ)
306 fsumconst 14642 . . . . . . . . . 10 (((((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) ∈ Fin ∧ ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) = ((♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
30782, 305, 306syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) = ((♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
308 1zzd 11521 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 1 ∈ ℤ)
30956adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ ℤ)
310 fzen 12472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ ∧ (𝑚𝑠) ∈ ℤ) → (1...𝑠) ≈ ((1 + (𝑚𝑠))...(𝑠 + (𝑚𝑠))))
311308, 309, 69, 310syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (1...𝑠) ≈ ((1 + (𝑚𝑠))...(𝑠 + (𝑚𝑠))))
312 ax-1cn 10107 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
31369zcnd 11596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ ℂ)
314 addcom 10335 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑚𝑠) ∈ ℂ) → (1 + (𝑚𝑠)) = ((𝑚𝑠) + 1))
315312, 313, 314sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (1 + (𝑚𝑠)) = ((𝑚𝑠) + 1))
316262, 261pncan3d 10508 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑠 + (𝑚𝑠)) = 𝑚)
317315, 316oveq12d 6783 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((1 + (𝑚𝑠))...(𝑠 + (𝑚𝑠))) = (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚))
318311, 317breqtrd 4786 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (1...𝑠) ≈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚))
319 fzfid 12887 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (1...𝑠) ∈ Fin)
320 hashen 13250 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝑠) ∈ Fin ∧ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) ∈ Fin) → ((♯‘(1...𝑠)) = (♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) ↔ (1...𝑠) ≈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)))
321319, 82, 320syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((♯‘(1...𝑠)) = (♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) ↔ (1...𝑠) ≈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)))
322318, 321mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (♯‘(1...𝑠)) = (♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)))
323 hashfz1 13249 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑠)) = 𝑠)
32447, 323syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (♯‘(1...𝑠)) = 𝑠)
325322, 324eqtr3d 2760 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) = 𝑠)
326325oveq1d 6780 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((♯‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))) = (𝑠 · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
327214recnd 10181 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℂ)
328217rpcnne0d 11995 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℂ ∧ (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ≠ 0))
329 div23 10817 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐸 / 2) ∈ ℂ ∧ sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℂ ∧ (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ≠ 0)) → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) = (((𝐸 / 2) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )))
330158, 327, 328, 329syl3anc 1439 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) = (((𝐸 / 2) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )))
33156zcnd 11596 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑠 ∈ ℂ)
332221rpcnd 11988 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / 𝑠) ∈ ℂ)
333 divass 10816 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ ((𝐸 / 2) / 𝑠) ∈ ℂ ∧ ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℂ ∧ (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ≠ 0)) → ((𝑠 · ((𝐸 / 2) / 𝑠)) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) = (𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
334331, 332, 328, 333syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑠 · ((𝐸 / 2) / 𝑠)) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) = (𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
3355nnne0d 11178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑠 ≠ 0)
336158, 331, 335divcan2d 10916 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑠 · ((𝐸 / 2) / 𝑠)) = (𝐸 / 2))
337336oveq1d 6780 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑠 · ((𝐸 / 2) / 𝑠)) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) = ((𝐸 / 2) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
338334, 337eqtr3d 2760 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))) = ((𝐸 / 2) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
339338oveq1d 6780 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))) · sup(𝑇, ℝ, < )) = (((𝐸 / 2) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )))
340222rpcnd 11988 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℂ)
341331, 340, 327mulassd 10176 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))) · sup(𝑇, ℝ, < )) = (𝑠 · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
342330, 339, 3413eqtr2rd 2765 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))) = (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
343342adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑠 · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))) = (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
344307, 326, 3433eqtrd 2762 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) = (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
345303, 344breqtrd 4786 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
346 peano2re 10322 . . . . . . . . . . 11 (sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ → (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
347214, 346syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
348214ltp1d 11067 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sup(𝑇, ℝ, < ) < (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))
349214, 347, 93, 348ltmul2dd 12042 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) < ((𝐸 / 2) · (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
350215, 94, 217ltdivmul2d 12038 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) < (𝐸 / 2) ↔ ((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) < ((𝐸 / 2) · (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
351349, 350mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) < (𝐸 / 2))
352351adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) < (𝐸 / 2))
35392, 219, 95, 345, 352lelttrd 10308 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < (𝐸 / 2))
35481, 92, 95, 95, 210, 353lt2addd 10763 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) + Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))) < ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)))
35514, 36absmuld 14313 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)))
356355sumeq2dv 14553 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)))
35769zred 11595 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ ℝ)
358357ltp1d 11067 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) < ((𝑚𝑠) + 1))
359 fzdisj 12482 . . . . . . . 8 ((𝑚𝑠) < ((𝑚𝑠) + 1) → ((0...(𝑚𝑠)) ∩ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) = ∅)
360358, 359syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((0...(𝑚𝑠)) ∩ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) = ∅)
361 fzsplit 12481 . . . . . . . 8 ((𝑚𝑠) ∈ (0...𝑚) → (0...𝑚) = ((0...(𝑚𝑠)) ∪ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)))
36267, 361syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...𝑚) = ((0...(𝑚𝑠)) ∪ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)))
36379recnd 10181 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℂ)
364360, 362, 10, 363fsumsplit 14591 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) + Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))))
365356, 364eqtr2d 2759 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) + Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)))
36642rpcnd 11988 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
367366adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝐸 ∈ ℂ)
3683672halvesd 11391 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
369354, 365, 3683brtr3d 4791 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
37039, 41, 44, 45, 369lelttrd 10308 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
371370ralrimiva 3068 . 2 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
372 fveq2 6304 . . . 4 (𝑦 = (𝑠 + 𝑡) → (ℤ𝑦) = (ℤ‘(𝑠 + 𝑡)))
373372raleqdv 3247 . . 3 (𝑦 = (𝑠 + 𝑡) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
374373rspcev 3413 . 2 (((𝑠 + 𝑡) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
3759, 371, 374syl2anc 696 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  {cab 2710  wne 2896  wral 3014  wrex 3015  cun 3678  cin 3679  wss 3680  c0 4023   class class class wbr 4760  dom cdm 5218  cfv 6001  (class class class)co 6765  cen 8069  Fincfn 8072  supcsup 8462  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054   < clt 10187  cle 10188  cmin 10379   / cdiv 10797  cn 11133  2c2 11183  0cn0 11405  cz 11490  cuz 11800  +crp 11946  ...cfz 12440  seqcseq 12916  chash 13232  abscabs 14094  cli 14335  Σcsu 14536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-pm 7977  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-ico 12295  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537
This theorem is referenced by:  mertenslem2  14737
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