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Theorem mersenne 25143
Description: A Mersenne prime is a prime number of the form 2↑𝑃 − 1. This theorem shows that the 𝑃 in this expression is necessarily also prime. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mersenne ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)

Proof of Theorem mersenne
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . 3 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℤ)
2 2nn0 11493 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
32numexp1 15975 . . . . . 6 (2↑1) = 2
4 df-2 11263 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
53, 4eqtri 2774 . . . . 5 (2↑1) = (1 + 1)
6 prmuz2 15602 . . . . . . . 8 (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘2))
76adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘2))
8 eluz2b2 11946 . . . . . . . 8 (((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((2↑𝑃) − 1)))
98simprbi 483 . . . . . . 7 (((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘2) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
107, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
11 1red 10239 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℝ)
12 2re 11274 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 2 ∈ ℝ)
14 2ne0 11297 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
1514a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 2 ≠ 0)
1613, 15, 1reexpclzd 13220 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑃) ∈ ℝ)
1711, 11, 16ltaddsubd 10811 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((1 + 1) < (2↑𝑃) ↔ 1 < ((2↑𝑃) − 1)))
1810, 17mpbird 247 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 + 1) < (2↑𝑃))
195, 18syl5eqbr 4831 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑1) < (2↑𝑃))
20 1zzd 11592 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
21 1lt2 11378 . . . . . 6 1 < 2
2221a1i 11 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < 2)
2313, 20, 1, 22ltexp2d 13224 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 < 𝑃 ↔ (2↑1) < (2↑𝑃)))
2419, 23mpbird 247 . . 3 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < 𝑃)
25 eluz2b1 11944 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑃))
261, 24, 25sylanbrc 701 . 2 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
27 simpllr 817 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ)
28 prmnn 15582 . . . . . . . 8 (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
3029nncnd 11220 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℂ)
31 2nn 11369 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
32 elfzuz 12523 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘2))
3332ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ∈ (ℤ‘2))
34 eluz2nn 11911 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 𝑘 ∈ ℕ)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ∈ ℕ)
3635nnnn0d 11535 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ∈ ℕ0)
37 nnexpcl 13059 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
3831, 36, 37sylancr 698 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
3938nnzd 11665 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℤ)
40 peano2zm 11604 . . . . . . . . 9 ((2↑𝑘) ∈ ℤ → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
4241zred 11666 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℝ)
4342recnd 10252 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℂ)
44 0red 10225 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 0 ∈ ℝ)
45 1red 10239 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 ∈ ℝ)
46 0lt1 10734 . . . . . . . . . 10 0 < 1
4746a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 0 < 1)
48 eluz2b2 11946 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑘))
4948simprbi 483 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑘)
5033, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 < 𝑘)
5112a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 2 ∈ ℝ)
52 1zzd 11592 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 ∈ ℤ)
53 elfzelz 12527 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
5453ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ∈ ℤ)
5521a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 < 2)
5651, 52, 54, 55ltexp2d 13224 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (1 < 𝑘 ↔ (2↑1) < (2↑𝑘)))
5750, 56mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑1) < (2↑𝑘))
585, 57syl5eqbrr 4832 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (1 + 1) < (2↑𝑘))
5938nnred 11219 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℝ)
6045, 45, 59ltaddsubd 10811 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((1 + 1) < (2↑𝑘) ↔ 1 < ((2↑𝑘) − 1)))
6158, 60mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 < ((2↑𝑘) − 1))
6244, 45, 42, 47, 61lttrd 10382 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 0 < ((2↑𝑘) − 1))
63 elnnz 11571 . . . . . . . 8 (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ ↔ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((2↑𝑘) − 1)))
6441, 62, 63sylanbrc 701 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ)
6564nnne0d 11249 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ≠ 0)
6630, 43, 65divcan2d 10987 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) = ((2↑𝑃) − 1))
6766, 27eqeltrd 2831 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
68 eluz2b2 11946 . . . . . 6 (((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((2↑𝑘) − 1)))
6964, 61, 68sylanbrc 701 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ‘2))
7038nncnd 11220 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
71 ax-1cn 10178 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
72 subeq0 10491 . . . . . . . . . . . 12 (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2↑𝑘) − 1) = 0 ↔ (2↑𝑘) = 1))
7370, 71, 72sylancl 697 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) = 0 ↔ (2↑𝑘) = 1))
7473necon3bid 2968 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) ≠ 0 ↔ (2↑𝑘) ≠ 1))
7565, 74mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) ≠ 1)
76 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘𝑃)
77 eluz2nn 11911 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
7826, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
7978ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)
80 nndivdvds 15183 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ))
8179, 35, 80syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (𝑘𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ))
8276, 81mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ)
8382nnnn0d 11535 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ0)
8470, 75, 83geoser 14790 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) = ((1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))) / (1 − (2↑𝑘))))
8516ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑃) ∈ ℝ)
8685recnd 10252 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑃) ∈ ℂ)
87 negsubdi2 10524 . . . . . . . . . . 11 (((2↑𝑃) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − (2↑𝑃)))
8886, 71, 87sylancl 697 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − (2↑𝑃)))
8979nncnd 11220 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑃 ∈ ℂ)
9035nncnd 11220 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ∈ ℂ)
9135nnne0d 11249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ≠ 0)
9289, 90, 91divcan2d 10987 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (𝑘 · (𝑃 / 𝑘)) = 𝑃)
9392oveq2d 6821 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑(𝑘 · (𝑃 / 𝑘))) = (2↑𝑃))
9451recnd 10252 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 2 ∈ ℂ)
9594, 83, 36expmuld 13197 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑(𝑘 · (𝑃 / 𝑘))) = ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘)))
9693, 95eqtr3d 2788 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑃) = ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘)))
9796oveq2d 6821 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (1 − (2↑𝑃)) = (1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))))
9888, 97eqtrd 2786 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))))
99 negsubdi2 10524 . . . . . . . . . 10 (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2↑𝑘) − 1) = (1 − (2↑𝑘)))
10070, 71, 99sylancl 697 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → -((2↑𝑘) − 1) = (1 − (2↑𝑘)))
10198, 100oveq12d 6823 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (-((2↑𝑃) − 1) / -((2↑𝑘) − 1)) = ((1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))) / (1 − (2↑𝑘))))
10230, 43, 65div2negd 11000 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (-((2↑𝑃) − 1) / -((2↑𝑘) − 1)) = (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
10384, 101, 1023eqtr2d 2792 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) = (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
104 fzfid 12958 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (0...((𝑃 / 𝑘) − 1)) ∈ Fin)
105 elfznn0 12618 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
106 zexpcl 13061 . . . . . . . . 9 (((2↑𝑘) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
10739, 105, 106syl2an 495 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))) → ((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
108104, 107fsumzcl 14657 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
109103, 108eqeltrrd 2832 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
11043mulid2d 10242 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (1 · ((2↑𝑘) − 1)) = ((2↑𝑘) − 1))
111 2z 11593 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
112 elfzm11 12596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑃)))
113111, 1, 112sylancr 698 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑃)))
114113biimpa 502 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑃))
115114simp3d 1138 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → 𝑘 < 𝑃)
116115adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 < 𝑃)
1171ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
11851, 54, 117, 55ltexp2d 13224 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (𝑘 < 𝑃 ↔ (2↑𝑘) < (2↑𝑃)))
119116, 118mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) < (2↑𝑃))
12059, 85, 45, 119ltsub1dd 10823 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) < ((2↑𝑃) − 1))
121110, 120eqbrtrd 4818 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1))
12229nnred 11219 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℝ)
123 ltmuldiv 11080 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℝ ∧ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2↑𝑘) − 1))) → ((1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1) ↔ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
12445, 122, 42, 62, 123syl112anc 1477 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1) ↔ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
125121, 124mpbid 222 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
126 eluz2b1 11944 . . . . . 6 ((((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ ∧ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
127109, 125, 126sylanbrc 701 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ‘2))
128 nprm 15595 . . . . 5 ((((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
12969, 127, 128syl2anc 696 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ¬ (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
13067, 129pm2.65da 601 . . 3 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑘𝑃)
131130ralrimiva 3096 . 2 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑘𝑃)
132 isprm3 15590 . 2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑘𝑃))
13326, 131, 132sylanbrc 701 1 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  wral 3042   class class class wbr 4796  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125   < clt 10258  cle 10259  cmin 10450  -cneg 10451   / cdiv 10868  cn 11204  2c2 11254  0cn0 11476  cz 11561  cuz 11871  ...cfz 12511  cexp 13046  Σcsu 14607  cdvds 15174  cprime 15579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-oi 8572  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-sum 14608  df-dvds 15175  df-prm 15580
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