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Theorem merlem5 1568
Description: Step 11 of Meredith's proof of Lukasiewicz axioms from his sole axiom. (Contributed by NM, 14-Dec-2002.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
merlem5 ((𝜑𝜓) → (¬ ¬ 𝜑𝜓))

Proof of Theorem merlem5
StepHypRef Expression
1 meredith 1563 . 2 (((((𝜓𝜓) → (¬ 𝜓 → ¬ 𝜓)) → 𝜓) → 𝜓) → ((𝜓𝜓) → (𝜓𝜓)))
2 meredith 1563 . . 3 (((((𝜓𝜓) → (¬ 𝜓 → ¬ ¬ ¬ 𝜑)) → 𝜓) → 𝜑) → ((𝜑𝜓) → (¬ ¬ 𝜑𝜓)))
3 merlem1 1564 . . . . 5 ((((𝜑𝜓) → (¬ ¬ 𝜑𝜓)) → ¬ (((((𝜓𝜓) → (¬ 𝜓 → ¬ 𝜓)) → 𝜓) → 𝜓) → ((𝜓𝜓) → (𝜓𝜓)))) → (¬ 𝜑 → ¬ (((((𝜓𝜓) → (¬ 𝜓 → ¬ 𝜓)) → 𝜓) → 𝜓) → ((𝜓𝜓) → (𝜓𝜓)))))
4 merlem4 1567 . . . . 5 (((((𝜑𝜓) → (¬ ¬ 𝜑𝜓)) → ¬ (((((𝜓𝜓) → (¬ 𝜓 → ¬ 𝜓)) → 𝜓) → 𝜓) → ((𝜓𝜓) → (𝜓𝜓)))) → (¬ 𝜑 → ¬ (((((𝜓𝜓) → (¬ 𝜓 → ¬ 𝜓)) → 𝜓) → 𝜓) → ((𝜓𝜓) → (𝜓𝜓))))) → ((((((𝜑𝜓) → (¬ ¬ 𝜑𝜓)) → ¬ (((((𝜓𝜓) → (¬ 𝜓 → ¬ 𝜓)) → 𝜓) → 𝜓) → ((𝜓𝜓) → (𝜓𝜓)))) → (¬ 𝜑 → ¬ (((((𝜓𝜓) → (¬ 𝜓 → ¬ 𝜓)) → 𝜓) → 𝜓) → ((𝜓𝜓) → (𝜓𝜓))))) → 𝜑) → ((((𝜓𝜓) → (¬ 𝜓 → ¬ ¬ ¬ 𝜑)) → 𝜓) → 𝜑)))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ((((((𝜑𝜓) → (¬ ¬ 𝜑𝜓)) → ¬ (((((𝜓𝜓) → (¬ 𝜓 → ¬ 𝜓)) → 𝜓) → 𝜓) → ((𝜓𝜓) → (𝜓𝜓)))) → (¬ 𝜑 → ¬ (((((𝜓𝜓) → (¬ 𝜓 → ¬ 𝜓)) → 𝜓) → 𝜓) → ((𝜓𝜓) → (𝜓𝜓))))) → 𝜑) → ((((𝜓𝜓) → (¬ 𝜓 → ¬ ¬ ¬ 𝜑)) → 𝜓) → 𝜑))
6 meredith 1563 . . . 4 (((((((𝜑𝜓) → (¬ ¬ 𝜑𝜓)) → ¬ (((((𝜓𝜓) → (¬ 𝜓 → ¬ 𝜓)) → 𝜓) → 𝜓) → ((𝜓𝜓) → (𝜓𝜓)))) → (¬ 𝜑 → ¬ (((((𝜓𝜓) → (¬ 𝜓 → ¬ 𝜓)) → 𝜓) → 𝜓) → ((𝜓𝜓) → (𝜓𝜓))))) → 𝜑) → ((((𝜓𝜓) → (¬ 𝜓 → ¬ ¬ ¬ 𝜑)) → 𝜓) → 𝜑)) → ((((((𝜓𝜓) → (¬ 𝜓 → ¬ ¬ ¬ 𝜑)) → 𝜓) → 𝜑) → ((𝜑𝜓) → (¬ ¬ 𝜑𝜓))) → ((((((𝜓𝜓) → (¬ 𝜓 → ¬ 𝜓)) → 𝜓) → 𝜓) → ((𝜓𝜓) → (𝜓𝜓))) → ((𝜑𝜓) → (¬ ¬ 𝜑𝜓)))))
75, 6ax-mp 5 . . 3 ((((((𝜓𝜓) → (¬ 𝜓 → ¬ ¬ ¬ 𝜑)) → 𝜓) → 𝜑) → ((𝜑𝜓) → (¬ ¬ 𝜑𝜓))) → ((((((𝜓𝜓) → (¬ 𝜓 → ¬ 𝜓)) → 𝜓) → 𝜓) → ((𝜓𝜓) → (𝜓𝜓))) → ((𝜑𝜓) → (¬ ¬ 𝜑𝜓))))
82, 7ax-mp 5 . 2 ((((((𝜓𝜓) → (¬ 𝜓 → ¬ 𝜓)) → 𝜓) → 𝜓) → ((𝜓𝜓) → (𝜓𝜓))) → ((𝜑𝜓) → (¬ ¬ 𝜑𝜓)))
91, 8ax-mp 5 1 ((𝜑𝜓) → (¬ ¬ 𝜑𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8
This theorem is referenced by:  merlem12  1575  merlem13  1576  luk-2  1578
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