Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendplusgfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mendplusgfval 38226
Description: Addition in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mendplusgfval.a 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
mendplusgfval.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mendplusgfval.p + = (+g𝑀)
Assertion
Ref Expression
mendplusgfval (+g𝐴) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 + 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥, + ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mendplusgfval
StepHypRef Expression
1 mendplusgfval.a . . . . 5 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
2 mendplusgfval.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
31mendbas 38225 . . . . . . 7 (𝑀 LMHom 𝑀) = (Base‘𝐴)
42, 3eqtr4i 2773 . . . . . 6 𝐵 = (𝑀 LMHom 𝑀)
5 mendplusgfval.p . . . . . . . . . 10 + = (+g𝑀)
6 ofeq 7052 . . . . . . . . . 10 ( + = (+g𝑀) → ∘𝑓 + = ∘𝑓 (+g𝑀))
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑓 + = ∘𝑓 (+g𝑀)
87oveqi 6814 . . . . . . . 8 (𝑥𝑓 + 𝑦) = (𝑥𝑓 (+g𝑀)𝑦)
98a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥𝑓 + 𝑦) = (𝑥𝑓 (+g𝑀)𝑦))
109mpt2eq3ia 6873 . . . . . 6 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 + 𝑦)) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 (+g𝑀)𝑦))
11 eqid 2748 . . . . . 6 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦)) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))
12 eqid 2748 . . . . . 6 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
13 eqid 2748 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑀)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑀)𝑦))
144, 10, 11, 12, 13mendval 38224 . . . . 5 (𝑀 ∈ V → (MEndo‘𝑀) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩}))
151, 14syl5eq 2794 . . . 4 (𝑀 ∈ V → 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩}))
1615fveq2d 6344 . . 3 (𝑀 ∈ V → (+g𝐴) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩})))
17 fvex 6350 . . . . . 6 (Base‘𝐴) ∈ V
182, 17eqeltri 2823 . . . . 5 𝐵 ∈ V
1918, 18mpt2ex 7403 . . . 4 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 + 𝑦)) ∈ V
20 eqid 2748 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩})
2120algaddg 38220 . . . 4 ((𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 + 𝑦)) ∈ V → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 + 𝑦)) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩})))
2219, 21mp1i 13 . . 3 (𝑀 ∈ V → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 + 𝑦)) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦𝐵 ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘𝑓 ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩})))
2316, 22eqtr4d 2785 . 2 (𝑀 ∈ V → (+g𝐴) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 + 𝑦)))
24 fvprc 6334 . . . . . 6 𝑀 ∈ V → (MEndo‘𝑀) = ∅)
251, 24syl5eq 2794 . . . . 5 𝑀 ∈ V → 𝐴 = ∅)
2625fveq2d 6344 . . . 4 𝑀 ∈ V → (+g𝐴) = (+g‘∅))
27 df-plusg 16127 . . . . 5 +g = Slot 2
2827str0 16084 . . . 4 ∅ = (+g‘∅)
2926, 28syl6eqr 2800 . . 3 𝑀 ∈ V → (+g𝐴) = ∅)
3025fveq2d 6344 . . . . . 6 𝑀 ∈ V → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
31 base0 16085 . . . . . 6 ∅ = (Base‘∅)
3230, 2, 313eqtr4g 2807 . . . . 5 𝑀 ∈ V → 𝐵 = ∅)
33 mpt2eq12 6868 . . . . . 6 ((𝐵 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅) → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 + 𝑦)) = (𝑥 ∈ ∅, 𝑦 ∈ ∅ ↦ (𝑥𝑓 + 𝑦)))
3433anidms 680 . . . . 5 (𝐵 = ∅ → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 + 𝑦)) = (𝑥 ∈ ∅, 𝑦 ∈ ∅ ↦ (𝑥𝑓 + 𝑦)))
3532, 34syl 17 . . . 4 𝑀 ∈ V → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 + 𝑦)) = (𝑥 ∈ ∅, 𝑦 ∈ ∅ ↦ (𝑥𝑓 + 𝑦)))
36 mpt20 6878 . . . 4 (𝑥 ∈ ∅, 𝑦 ∈ ∅ ↦ (𝑥𝑓 + 𝑦)) = ∅
3735, 36syl6eq 2798 . . 3 𝑀 ∈ V → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 + 𝑦)) = ∅)
3829, 37eqtr4d 2785 . 2 𝑀 ∈ V → (+g𝐴) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 + 𝑦)))
3923, 38pm2.61i 176 1 (+g𝐴) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥𝑓 + 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  Vcvv 3328  cun 3701  c0 4046  {csn 4309  {cpr 4311  {ctp 4313  cop 4315   × cxp 5252  ccom 5258  cfv 6037  (class class class)co 6801  cmpt2 6803  𝑓 cof 7048  2c2 11233  ndxcnx 16027  Basecbs 16030  +gcplusg 16114  .rcmulr 16115  Scalarcsca 16117   ·𝑠 cvsca 16118   LMHom clmhm 19192  MEndocmend 38216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-fz 12491  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-lmhm 19195  df-mend 38217
This theorem is referenced by:  mendplusg  38227
  Copyright terms: Public domain W3C validator