Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvunilem0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measvunilem0 30404
 Description: Lemma for measvuni 30405. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
measvunilem.0.1 𝑥𝐴
Assertion
Ref Expression
measvunilem0 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem measvunilem0
StepHypRef Expression
1 simp3l 1109 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 ≼ ω)
2 ctex 8012 . . 3 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
3 measvunilem.0.1 . . . 4 𝑥𝐴
43esum0 30239 . . 3 (𝐴 ∈ V → Σ*𝑥𝐴0 = 0)
51, 2, 43syl 18 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥𝐴0 = 0)
6 nfv 1883 . . . 4 𝑥 𝑀 ∈ (measures‘𝑆)
7 nfra1 2970 . . . 4 𝑥𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅}
8 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑥
9 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑥ω
103, 8, 9nfbr 4732 . . . . 5 𝑥 𝐴 ≼ ω
11 nfdisj1 4665 . . . . 5 𝑥Disj 𝑥𝐴 𝐵
1210, 11nfan 1868 . . . 4 𝑥(𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)
136, 7, 12nf3an 1871 . . 3 𝑥(𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵))
14 eqidd 2652 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 = 𝐴)
15 simp2 1082 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅})
1615r19.21bi 2961 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ {∅})
17 elsni 4227 . . . . . 6 (𝐵 ∈ {∅} → 𝐵 = ∅)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 = ∅)
1918fveq2d 6233 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑀𝐵) = (𝑀‘∅))
20 measvnul 30397 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
21203ad2ant1 1102 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∅) = 0)
2221adantr 480 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑀‘∅) = 0)
2319, 22eqtrd 2685 . . 3 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑀𝐵) = 0)
2413, 14, 23esumeq12dvaf 30221 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵) = Σ*𝑥𝐴0)
2513, 3, 3, 14, 18iuneq12daf 29499 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑥𝐴 𝐵 = 𝑥𝐴 ∅)
26 iun0 4608 . . . . 5 𝑥𝐴 ∅ = ∅
2725, 26syl6eq 2701 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑥𝐴 𝐵 = ∅)
2827fveq2d 6233 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = (𝑀‘∅))
2928, 21eqtrd 2685 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = 0)
305, 24, 293eqtr4rd 2696 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Ⅎwnfc 2780  ∀wral 2941  Vcvv 3231  ∅c0 3948  {csn 4210  ∪ ciun 4552  Disj wdisj 4652   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  ωcom 7107   ≼ cdom 7995  0cc0 9974  Σ*cesum 30217  measurescmeas 30386 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-ordt 16208  df-xrs 16209  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-ps 17247  df-tsr 17248  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-ntr 20872  df-nei 20950  df-cn 21079  df-haus 21167  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-tsms 21977  df-esum 30218  df-meas 30387 This theorem is referenced by:  measvuni  30405
 Copyright terms: Public domain W3C validator