Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measvuni 30611
 Description: The measure of a countable disjoint union is the sum of the measures. This theorem uses a collection rather than a set of subsets of 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
measvuni ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem measvuni
StepHypRef Expression
1 simp1 1129 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2 rabid 3263 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ↔ (𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}))
32simprbi 478 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} → 𝐵 ∈ {∅})
43adantl 467 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵 ∈ {∅})
54ralrimiva 3114 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅})
653ad2ant1 1126 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅})
7 ssrab2 3834 . . . . . . 7 {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴
8 ssct 8196 . . . . . . 7 (({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴𝐴 ≼ ω) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
97, 8mpan 662 . . . . . 6 (𝐴 ≼ ω → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
109adantr 466 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
11103ad2ant3 1128 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω)
12 simp3r 1243 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥𝐴 𝐵)
13 nfrab1 3270 . . . . . 6 𝑥{𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}
14 nfcv 2912 . . . . . 6 𝑥𝐴
1513, 14disjss1f 29718 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑥𝐴 𝐵Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵))
167, 12, 15mpsyl 68 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵)
1713measvunilem0 30610 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 ∈ {∅} ∧ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵)) → (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} (𝑀𝐵))
181, 6, 11, 16, 17syl112anc 1479 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} (𝑀𝐵))
19 rabid 3263 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ↔ (𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
2019simprbi 478 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
2120adantl 467 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
2221ralrimiva 3114 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
23223ad2ant1 1126 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
24 ssrab2 3834 . . . . . . 7 {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴
25 ssct 8196 . . . . . . 7 (({𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴𝐴 ≼ ω) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
2624, 25mpan 662 . . . . . 6 (𝐴 ≼ ω → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
2726adantr 466 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
28273ad2ant3 1128 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω)
29 nfrab1 3270 . . . . . 6 𝑥{𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}
3029, 14disjss1f 29718 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑥𝐴 𝐵Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))
3124, 12, 30mpsyl 68 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)
3229measvunilem 30609 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∧ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) → (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀𝐵))
331, 23, 28, 31, 32syl112anc 1479 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀𝐵))
3418, 33oveq12d 6810 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ((𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} (𝑀𝐵) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀𝐵)))
35 nfv 1994 . . . . . . 7 𝑥 𝑀 ∈ (measures‘𝑆)
36 nfra1 3089 . . . . . . 7 𝑥𝑥𝐴 𝐵𝑆
37 nfv 1994 . . . . . . . 8 𝑥 𝐴 ≼ ω
38 nfdisj1 4765 . . . . . . . 8 𝑥Disj 𝑥𝐴 𝐵
3937, 38nfan 1979 . . . . . . 7 𝑥(𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)
4035, 36, 39nf3an 1982 . . . . . 6 𝑥(𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵))
4113, 29nfun 3918 . . . . . 6 𝑥({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})
42 simp2 1130 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆)
43 rabid2 3266 . . . . . . . . 9 (𝐴 = {𝑥𝐴𝐵𝑆} ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆)
4442, 43sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 = {𝑥𝐴𝐵𝑆})
45 elun 3902 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
46 measbase 30594 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
47 0elsiga 30511 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
48 snssi 4472 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ∈ 𝑆 → {∅} ⊆ 𝑆)
4946, 47, 483syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → {∅} ⊆ 𝑆)
50 undif 4189 . . . . . . . . . . . . 13 ({∅} ⊆ 𝑆 ↔ ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) = 𝑆)
5149, 50sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) = 𝑆)
5251eleq2d 2835 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝐵 ∈ ({∅} ∪ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ 𝐵𝑆))
5345, 52syl5bbr 274 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ 𝐵𝑆))
5453rabbidv 3338 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = {𝑥𝐴𝐵𝑆})
55543ad2ant1 1126 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = {𝑥𝐴𝐵𝑆})
5644, 55eqtr4d 2807 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))})
57 unrab 4044 . . . . . . 7 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∨ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))}
5856, 57syl6eqr 2822 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐴 = ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}))
59 eqidd 2771 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝐵 = 𝐵)
6040, 14, 41, 58, 59iuneq12df 4676 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑥𝐴 𝐵 = 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵)
6160fveq2d 6336 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = (𝑀 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵))
62 iunxun 4737 . . . . 5 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵 = ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)
6362fveq2i 6335 . . . 4 (𝑀 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})𝐵) = (𝑀‘( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))
6461, 63syl6eq 2820 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = (𝑀‘( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
65463ad2ant1 1126 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑆 ran sigAlgebra)
6647adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → ∅ ∈ 𝑆)
67 elsni 4331 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ {∅} → 𝐵 = ∅)
6867eleq1d 2834 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ {∅} → (𝐵𝑆 ↔ ∅ ∈ 𝑆))
6968adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → (𝐵𝑆 ↔ ∅ ∈ 𝑆))
7066, 69mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐵 ∈ {∅}) → 𝐵𝑆)
7146, 3, 70syl2an 575 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵𝑆)
7271ralrimiva 3114 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆)
73723ad2ant1 1126 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆)
7413sigaclcuni 30515 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆 ∧ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆)
7565, 73, 11, 74syl3anc 1475 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆)
7621eldifad 3733 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵𝑆)
7776ralrimiva 3114 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆)
78773ad2ant1 1126 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆)
7929sigaclcuni 30515 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆 ∧ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆)
8065, 78, 28, 79syl3anc 1475 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆)
813, 67syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} → 𝐵 = ∅)
8281iuneq2i 4671 . . . . . 6 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}∅
83 iun0 4708 . . . . . 6 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}∅ = ∅
8482, 83eqtri 2792 . . . . 5 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅
85 ineq1 3956 . . . . . 6 ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅ → ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = (∅ ∩ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵))
86 0in 4111 . . . . . 6 (∅ ∩ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅
8785, 86syl6eq 2820 . . . . 5 ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 = ∅ → ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅)
8884, 87mp1i 13 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅)
89 measun 30608 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵𝑆 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵𝑆) ∧ ( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵) = ∅) → (𝑀‘( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = ((𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
901, 75, 80, 88, 89syl121anc 1480 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀‘( 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)) = ((𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
9164, 90eqtrd 2804 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = ((𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}𝐵) +𝑒 (𝑀 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}𝐵)))
9240, 58esumeq1d 30431 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵) = Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})(𝑀𝐵))
93 ctex 8123 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ≼ ω → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∈ V)
9411, 93syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∈ V)
95 ctex 8123 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ≼ ω → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ∈ V)
9628, 95syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} ∈ V)
97 inrab 4045 . . . . . 6 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))}
98 noel 4065 . . . . . . . . . 10 ¬ 𝐵 ∈ ∅
99 disjdif 4180 . . . . . . . . . . 11 ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅})) = ∅
10099eleq2i 2841 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ 𝐵 ∈ ∅)
10198, 100mtbir 312 . . . . . . . . 9 ¬ 𝐵 ∈ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅}))
102 elin 3945 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ({∅} ∩ (𝑆 ∖ {∅})) ↔ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
103101, 102mtbi 311 . . . . . . . 8 ¬ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
104103rgenw 3072 . . . . . . 7 𝑥𝐴 ¬ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
105 rabeq0 4101 . . . . . . 7 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = ∅ ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})))
106104, 105mpbir 221 . . . . . 6 {𝑥𝐴 ∣ (𝐵 ∈ {∅} ∧ 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))} = ∅
10797, 106eqtri 2792 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = ∅
108107a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∩ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) = ∅)
1091adantr 466 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
1101, 71sylan 561 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}) → 𝐵𝑆)
111 measvxrge0 30602 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
112109, 110, 111syl2anc 565 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}}) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
1131adantr 466 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
11420adantl 467 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
115114eldifad 3733 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → 𝐵𝑆)
116113, 115, 111syl2anc 565 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})}) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
11740, 13, 29, 94, 96, 108, 112, 116esumsplit 30449 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} ∪ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})})(𝑀𝐵) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} (𝑀𝐵) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀𝐵)))
11892, 117eqtrd 2804 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ {∅}} (𝑀𝐵) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝑆 ∖ {∅})} (𝑀𝐵)))
11934, 91, 1183eqtr4d 2814 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥𝐴 𝐵)) → (𝑀 𝑥𝐴 𝐵) = Σ*𝑥𝐴(𝑀𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∨ wo 826   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ∀wral 3060  {crab 3064  Vcvv 3349   ∖ cdif 3718   ∪ cun 3719   ∩ cin 3720   ⊆ wss 3721  ∅c0 4061  {csn 4314  ∪ cuni 4572  ∪ ciun 4652  Disj wdisj 4752   class class class wbr 4784  ran crn 5250  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  ωcom 7211   ≼ cdom 8106  0cc0 10137  +∞cpnf 10272   +𝑒 cxad 12148  [,]cicc 12382  Σ*cesum 30423  sigAlgebracsiga 30504  measurescmeas 30592 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-ac2 9486  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-disj 4753  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-acn 8967  df-ac 9138  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-ef 15003  df-sin 15005  df-cos 15006  df-pi 15008  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-ordt 16368  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-ps 17407  df-tsr 17408  df-plusf 17448  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mhm 17542  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-mulg 17748  df-subg 17798  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-cring 18757  df-subrg 18987  df-abv 19026  df-lmod 19074  df-scaf 19075  df-sra 19386  df-rgmod 19387  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-haus 21339  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-tmd 22095  df-tgp 22096  df-tsms 22149  df-trg 22182  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-nm 22606  df-ngp 22607  df-nrg 22609  df-nlm 22610  df-ii 22899  df-cncf 22900  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523  df-esum 30424  df-siga 30505  df-meas 30593 This theorem is referenced by:  measiuns  30614  measinblem  30617  sibfof  30736  dstrvprob  30867
 Copyright terms: Public domain W3C validator