Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measunl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measunl 30619
Description: A measure is sub-additive with respect to union. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
measunl.1 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
measunl.2 (𝜑𝐴𝑆)
measunl.3 (𝜑𝐵𝑆)
Assertion
Ref Expression
measunl (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))

Proof of Theorem measunl
StepHypRef Expression
1 undif1 4186 . . . 4 ((𝐴𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴𝐵)
21fveq2i 6336 . . 3 (𝑀‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)) = (𝑀‘(𝐴𝐵))
3 measunl.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
4 measbase 30600 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
6 measunl.2 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
7 measunl.3 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑆)
8 difelsiga 30536 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
95, 6, 7, 8syl3anc 1476 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
10 incom 3956 . . . . . 6 (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵)
11 disjdif 4183 . . . . . 6 (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
1210, 11eqtr3i 2795 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵) = ∅
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵) = ∅)
14 measun 30614 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ((𝐴𝐵) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵) = ∅) → (𝑀‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀𝐵)))
153, 9, 7, 13, 14syl121anc 1481 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀𝐵)))
162, 15syl5eqr 2819 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀𝐵)))
17 iccssxr 12461 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
18 measvxrge0 30608 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
193, 9, 18syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
2017, 19sseldi 3750 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ*)
21 measvxrge0 30608 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
223, 6, 21syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
2317, 22sseldi 3750 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
24 measvxrge0 30608 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
253, 7, 24syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
2617, 25sseldi 3750 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ ℝ*)
27 inelsiga 30538 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
285, 6, 7, 27syl3anc 1476 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
29 measvxrge0 30608 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
303, 28, 29syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
31 elxrge0 12488 . . . . . . 7 ((𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘(𝐴𝐵))))
3230, 31sylib 208 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘(𝐴𝐵))))
3332simprd 483 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀‘(𝐴𝐵)))
3417, 30sseldi 3750 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ*)
35 xraddge02 29861 . . . . . 6 (((𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑀‘(𝐴𝐵)) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵)))))
3620, 34, 35syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → (0 ≤ (𝑀‘(𝐴𝐵)) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵)))))
3733, 36mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵))))
38 uncom 3908 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))
39 inundif 4189 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴
4038, 39eqtr3i 2795 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴
4140fveq2i 6336 . . . . 5 (𝑀‘((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))) = (𝑀𝐴)
42 incom 3956 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵))
43 inindif 29691 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
4442, 43eqtr3i 2795 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
4544a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
46 measun 30614 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ((𝐴𝐵) ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) ∧ ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅) → (𝑀‘((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))) = ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵))))
473, 9, 28, 45, 46syl121anc 1481 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))) = ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵))))
4841, 47syl5eqr 2819 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴) = ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵))))
4937, 48breqtrrd 4815 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ≤ (𝑀𝐴))
50 xleadd1a 12288 . . 3 ((((𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝑀𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (𝑀‘(𝐴𝐵)) ≤ (𝑀𝐴)) → ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀𝐵)) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
5120, 23, 26, 49, 50syl31anc 1479 . 2 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀𝐵)) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
5216, 51eqbrtrd 4809 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cdif 3720  cun 3721  cin 3722  c0 4063   cuni 4575   class class class wbr 4787  ran crn 5251  cfv 6030  (class class class)co 6796  0cc0 10142  +∞cpnf 10277  *cxr 10279  cle 10281   +𝑒 cxad 12149  [,]cicc 12383  sigAlgebracsiga 30510  measurescmeas 30598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-ac2 9491  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-disj 4756  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-acn 8972  df-ac 9143  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007  df-pi 15009  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-ordt 16369  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-ps 17408  df-tsr 17409  df-plusf 17449  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-subrg 18988  df-abv 19027  df-lmod 19075  df-scaf 19076  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-tmd 22096  df-tgp 22097  df-tsms 22150  df-trg 22183  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-nm 22607  df-ngp 22608  df-nrg 22610  df-nlm 22611  df-ii 22900  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524  df-esum 30430  df-siga 30511  df-meas 30599
This theorem is referenced by:  aean  30647
  Copyright terms: Public domain W3C validator