Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measiuns Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measiuns 30610
Description: The measure of the union of a collection of sets, expressed as the sum of a disjoint set. This is used as a lemma for both measiun 30611 and meascnbl 30612. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jan-2017.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
measiuns.0 𝑛𝐵
measiuns.1 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
measiuns.2 (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝐼)))
measiuns.3 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
measiuns.4 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝐴𝑆)
Assertion
Ref Expression
measiuns (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑁 𝐴) = Σ*𝑛𝑁(𝑀‘(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑛,𝐼   𝑛,𝑀   𝑘,𝑁,𝑛   𝑆,𝑘,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem measiuns
StepHypRef Expression
1 measiuns.0 . . . 4 𝑛𝐵
2 measiuns.1 . . . 4 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝐵)
3 measiuns.2 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝐼)))
41, 2, 3iundisjcnt 29887 . . 3 (𝜑 𝑛𝑁 𝐴 = 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
54fveq2d 6357 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑁 𝐴) = (𝑀 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
6 measiuns.3 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
7 measbase 30590 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
98adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝑆 ran sigAlgebra)
10 measiuns.4 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝐴𝑆)
11 simpll 807 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝜑)
12 fzossnn 12731 . . . . . . . . . . 11 (1..^𝑛) ⊆ ℕ
13 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑁 = ℕ) → 𝑁 = ℕ)
1412, 13syl5sseqr 3795 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑁 = ℕ) → (1..^𝑛) ⊆ 𝑁)
15 simplr 809 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) → 𝑛𝑁)
16 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) → 𝑁 = (1..^𝐼))
1715, 16eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) → 𝑛 ∈ (1..^𝐼))
18 elfzouz2 12698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1..^𝐼) → 𝐼 ∈ (ℤ𝑛))
19 fzoss2 12710 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (ℤ𝑛) → (1..^𝑛) ⊆ (1..^𝐼))
2017, 18, 193syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) → (1..^𝑛) ⊆ (1..^𝐼))
2120, 16sseqtr4d 3783 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑁 = (1..^𝐼)) → (1..^𝑛) ⊆ 𝑁)
223adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑁) → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝐼)))
2314, 21, 22mpjaodan 862 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑁) → (1..^𝑛) ⊆ 𝑁)
2423sselda 3744 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑘𝑁)
2510sbimi 2052 . . . . . . . . 9 ([𝑘 / 𝑛](𝜑𝑛𝑁) → [𝑘 / 𝑛]𝐴𝑆)
26 sban 2536 . . . . . . . . . 10 ([𝑘 / 𝑛](𝜑𝑛𝑁) ↔ ([𝑘 / 𝑛]𝜑 ∧ [𝑘 / 𝑛]𝑛𝑁))
27 nfv 1992 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝜑
2827sbf 2517 . . . . . . . . . . 11 ([𝑘 / 𝑛]𝜑𝜑)
29 clelsb3 2867 . . . . . . . . . . 11 ([𝑘 / 𝑛]𝑛𝑁𝑘𝑁)
3028, 29anbi12i 735 . . . . . . . . . 10 (([𝑘 / 𝑛]𝜑 ∧ [𝑘 / 𝑛]𝑛𝑁) ↔ (𝜑𝑘𝑁))
3126, 30bitri 264 . . . . . . . . 9 ([𝑘 / 𝑛](𝜑𝑛𝑁) ↔ (𝜑𝑘𝑁))
32 sbsbc 3580 . . . . . . . . . 10 ([𝑘 / 𝑛]𝐴𝑆[𝑘 / 𝑛]𝐴𝑆)
33 vex 3343 . . . . . . . . . . 11 𝑘 ∈ V
34 sbcel1g 4130 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ V → ([𝑘 / 𝑛]𝐴𝑆𝑘 / 𝑛𝐴𝑆))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ([𝑘 / 𝑛]𝐴𝑆𝑘 / 𝑛𝐴𝑆)
36 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝐴
3736, 1, 2cbvcsb 3679 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 / 𝑛𝐴 = 𝑘 / 𝑘𝐵
38 csbid 3682 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 / 𝑘𝐵 = 𝐵
3937, 38eqtri 2782 . . . . . . . . . . 11 𝑘 / 𝑛𝐴 = 𝐵
4039eleq1i 2830 . . . . . . . . . 10 (𝑘 / 𝑛𝐴𝑆𝐵𝑆)
4132, 35, 403bitri 286 . . . . . . . . 9 ([𝑘 / 𝑛]𝐴𝑆𝐵𝑆)
4225, 31, 413imtr3i 280 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑁) → 𝐵𝑆)
4311, 24, 42syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝐵𝑆)
4443ralrimiva 3104 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑁) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆)
45 sigaclfu2 30514 . . . . . 6 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆)
469, 44, 45syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆)
47 difelsiga 30526 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵𝑆) → (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∈ 𝑆)
489, 10, 46, 47syl3anc 1477 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑁) → (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∈ 𝑆)
4948ralrimiva 3104 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∈ 𝑆)
50 eqimss 3798 . . . . . 6 (𝑁 = ℕ → 𝑁 ⊆ ℕ)
51 fzossnn 12731 . . . . . . 7 (1..^𝐼) ⊆ ℕ
52 sseq1 3767 . . . . . . 7 (𝑁 = (1..^𝐼) → (𝑁 ⊆ ℕ ↔ (1..^𝐼) ⊆ ℕ))
5351, 52mpbiri 248 . . . . . 6 (𝑁 = (1..^𝐼) → 𝑁 ⊆ ℕ)
5450, 53jaoi 393 . . . . 5 ((𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝐼)) → 𝑁 ⊆ ℕ)
553, 54syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ⊆ ℕ)
56 nnct 12994 . . . 4 ℕ ≼ ω
57 ssct 8208 . . . 4 ((𝑁 ⊆ ℕ ∧ ℕ ≼ ω) → 𝑁 ≼ ω)
5855, 56, 57sylancl 697 . . 3 (𝜑𝑁 ≼ ω)
591, 2, 3iundisj2cnt 29888 . . 3 (𝜑Disj 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))
60 measvuni 30607 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵) ∈ 𝑆 ∧ (𝑁 ≼ ω ∧ Disj 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵))) → (𝑀 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = Σ*𝑛𝑁(𝑀‘(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
616, 49, 58, 59, 60syl112anc 1481 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑁 (𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)) = Σ*𝑛𝑁(𝑀‘(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
625, 61eqtrd 2794 1 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑁 𝐴) = Σ*𝑛𝑁(𝑀‘(𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  [wsb 2046  wcel 2139  wnfc 2889  wral 3050  Vcvv 3340  [wsbc 3576  csb 3674  cdif 3712  wss 3715   cuni 4588   ciun 4672  Disj wdisj 4772   class class class wbr 4804  ran crn 5267  cfv 6049  (class class class)co 6814  ωcom 7231  cdom 8121  1c1 10149  cn 11232  cuz 11899  ..^cfzo 12679  Σ*cesum 30419  sigAlgebracsiga 30500  measurescmeas 30588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-ac2 9497  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-acn 8978  df-ac 9149  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15017  df-sin 15019  df-cos 15020  df-pi 15022  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-ordt 16383  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-ps 17421  df-tsr 17422  df-plusf 17462  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-subrg 19000  df-abv 19039  df-lmod 19087  df-scaf 19088  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-tmd 22097  df-tgp 22098  df-tsms 22151  df-trg 22184  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-nm 22608  df-ngp 22609  df-nrg 22611  df-nlm 22612  df-ii 22901  df-cncf 22902  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523  df-esum 30420  df-siga 30501  df-meas 30589
This theorem is referenced by:  measiun  30611  meascnbl  30612
  Copyright terms: Public domain W3C validator