Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measinb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measinb 30585
Description: Building a measure restricted to the intersection with a given set. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
measinb ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑀

Proof of Theorem measinb
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 807 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2 measbase 30561 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
32ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
4 simpr 479 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
5 simplr 809 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴𝑆)
6 inelsiga 30499 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥𝑆𝐴𝑆) → (𝑥𝐴) ∈ 𝑆)
73, 4, 5, 6syl3anc 1473 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥𝐴) ∈ 𝑆)
8 measvxrge0 30569 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
91, 7, 8syl2anc 696 . . 3 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
10 eqid 2752 . . 3 (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))) = (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))
119, 10fmptd 6540 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))):𝑆⟶(0[,]+∞))
12 eqidd 2753 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))) = (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))))
13 ineq1 3942 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝐴) = (∅ ∩ 𝐴))
14 0in 4104 . . . . . . 7 (∅ ∩ 𝐴) = ∅
1513, 14syl6eq 2802 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝐴) = ∅)
1615fveq2d 6348 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (𝑀‘(𝑥𝐴)) = (𝑀‘∅))
1716adantl 473 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) = (𝑀‘∅))
18 measvnul 30570 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
1918ad2antrr 764 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
2017, 19eqtrd 2786 . . 3 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) = 0)
212adantr 472 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
22 0elsiga 30478 . . . 4 (𝑆 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
2321, 22syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → ∅ ∈ 𝑆)
24 0red 10225 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → 0 ∈ ℝ)
2512, 20, 23, 24fvmptd 6442 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘∅) = 0)
26 measinblem 30584 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → (𝑀‘( 𝑧𝐴)) = Σ*𝑦𝑧(𝑀‘(𝑦𝐴)))
27 eqidd 2753 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))) = (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))))
28 ineq1 3942 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝐴) = ( 𝑧𝐴))
2928adantl 473 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (𝑥𝐴) = ( 𝑧𝐴))
3029fveq2d 6348 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) = (𝑀‘( 𝑧𝐴)))
31 simplll 815 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
3231, 2syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → 𝑆 ran sigAlgebra)
33 simplr 809 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆)
34 simprl 811 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → 𝑧 ≼ ω)
35 sigaclcu 30481 . . . . . . 7 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆𝑧 ≼ ω) → 𝑧𝑆)
3632, 33, 34, 35syl3anc 1473 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → 𝑧𝑆)
37 simpllr 817 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → 𝐴𝑆)
38 inelsiga 30499 . . . . . . . 8 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑧𝑆𝐴𝑆) → ( 𝑧𝐴) ∈ 𝑆)
3932, 36, 37, 38syl3anc 1473 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → ( 𝑧𝐴) ∈ 𝑆)
40 measvxrge0 30569 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ( 𝑧𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘( 𝑧𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
4131, 39, 40syl2anc 696 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → (𝑀‘( 𝑧𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
4227, 30, 36, 41fvmptd 6442 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘ 𝑧) = (𝑀‘( 𝑧𝐴)))
43 eqidd 2753 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))) = (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))))
44 ineq1 3942 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴) = (𝑦𝐴))
4544adantl 473 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑥𝐴) = (𝑦𝐴))
4645fveq2d 6348 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) = (𝑀‘(𝑦𝐴)))
47 elpwi 4304 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑆𝑧𝑆)
4847ad2antlr 765 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑧𝑆)
49 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦𝑧)
5048, 49sseldd 3737 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦𝑆)
51 simplll 815 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
5251, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑆 ran sigAlgebra)
53 simpllr 817 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → 𝐴𝑆)
54 inelsiga 30499 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑦𝑆𝐴𝑆) → (𝑦𝐴) ∈ 𝑆)
5552, 50, 53, 54syl3anc 1473 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦𝐴) ∈ 𝑆)
56 measvxrge0 30569 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑦𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
5751, 55, 56syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑀‘(𝑦𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
5843, 46, 50, 57fvmptd 6442 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘𝑦) = (𝑀‘(𝑦𝐴)))
5958esumeq2dv 30401 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) → Σ*𝑦𝑧((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘𝑦) = Σ*𝑦𝑧(𝑀‘(𝑦𝐴)))
6059adantr 472 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → Σ*𝑦𝑧((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘𝑦) = Σ*𝑦𝑧(𝑀‘(𝑦𝐴)))
6126, 42, 603eqtr4d 2796 . . . 4 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘ 𝑧) = Σ*𝑦𝑧((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘𝑦))
6261ex 449 . . 3 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘ 𝑧) = Σ*𝑦𝑧((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘𝑦)))
6362ralrimiva 3096 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘ 𝑧) = Σ*𝑦𝑧((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘𝑦)))
64 ismeas 30563 . . 3 (𝑆 ran sigAlgebra → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘ 𝑧) = Σ*𝑦𝑧((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘𝑦)))))
6521, 64syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘ 𝑧) = Σ*𝑦𝑧((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘𝑦)))))
6611, 25, 63, 65mpbir3and 1425 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wral 3042  cin 3706  wss 3707  c0 4050  𝒫 cpw 4294   cuni 4580  Disj wdisj 4764   class class class wbr 4796  cmpt 4873  ran crn 5259  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  ωcom 7222  cdom 8111  cr 10119  0cc0 10120  +∞cpnf 10255  [,]cicc 12363  Σ*cesum 30390  sigAlgebracsiga 30471  measurescmeas 30559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-ac2 9469  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-disj 4765  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-acn 8950  df-ac 9121  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ioc 12365  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-fac 13247  df-bc 13276  df-hash 13304  df-shft 13998  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-limsup 14393  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-ef 14989  df-sin 14991  df-cos 14992  df-pi 14994  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-ordt 16355  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-ps 17393  df-tsr 17394  df-plusf 17434  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-mhm 17528  df-submnd 17529  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-sbg 17620  df-mulg 17734  df-subg 17784  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-abl 18388  df-mgp 18682  df-ur 18694  df-ring 18741  df-cring 18742  df-subrg 18972  df-abv 19011  df-lmod 19059  df-scaf 19060  df-sra 19366  df-rgmod 19367  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-lp 21134  df-perf 21135  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-haus 21313  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-tmd 22069  df-tgp 22070  df-tsms 22123  df-trg 22156  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-nm 22580  df-ngp 22581  df-nrg 22583  df-nlm 22584  df-ii 22873  df-cncf 22874  df-limc 23821  df-dv 23822  df-log 24494  df-esum 30391  df-siga 30472  df-meas 30560
This theorem is referenced by:  measinb2  30587  totprobd  30789  probmeasb  30793
  Copyright terms: Public domain W3C validator