Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measdivcst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measdivcst 30597
Description: Division of a measure by a positive constant is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
measdivcst ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀𝑓/𝑐 /𝑒 𝐴) ∈ (measures‘𝑆))

Proof of Theorem measdivcst
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ofcfval3 30473 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀𝑓/𝑐 /𝑒 𝐴) = (𝑥 ∈ dom 𝑀 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)))
2 measfrge0 30575 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
3 fdm 6212 . . . . . 6 (𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞) → dom 𝑀 = 𝑆)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → dom 𝑀 = 𝑆)
54adantr 472 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → dom 𝑀 = 𝑆)
65mpteq1d 4890 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ dom 𝑀 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) = (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)))
71, 6eqtrd 2794 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀𝑓/𝑐 /𝑒 𝐴) = (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)))
8 measvxrge0 30577 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀𝑥) ∈ (0[,]+∞))
98adantlr 753 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀𝑥) ∈ (0[,]+∞))
10 simplr 809 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ+)
119, 10xrpxdivcld 29952 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ (0[,]+∞))
12 eqid 2760 . . . 4 (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) = (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))
1311, 12fmptd 6548 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞))
14 measbase 30569 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
15 0elsiga 30486 . . . . . . 7 (𝑆 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ∅ ∈ 𝑆)
1716adantr 472 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ∅ ∈ 𝑆)
18 ovex 6841 . . . . 5 ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) ∈ V
19 fveq2 6352 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝑀𝑥) = (𝑀‘∅))
2019oveq1d 6828 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
2120, 12fvmptg 6442 . . . . 5 ((∅ ∈ 𝑆 ∧ ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) ∈ V) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
2217, 18, 21sylancl 697 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴))
23 measvnul 30578 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
2423oveq1d 6828 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) = (0 /𝑒 𝐴))
25 xdiv0rp 29947 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (0 /𝑒 𝐴) = 0)
2624, 25sylan9eq 2814 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑀‘∅) /𝑒 𝐴) = 0)
2722, 26eqtrd 2794 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0)
28 simpll 807 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+))
29 simplr 809 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆)
30 simprl 811 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑦 ≼ ω)
31 simprr 813 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → Disj 𝑧𝑦 𝑧)
32 vex 3343 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → 𝑦 ∈ V)
34 simplll 815 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
35 selpw 4309 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑆)
36 ssel2 3739 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝑆𝑧𝑦) → 𝑧𝑆)
3735, 36sylanb 490 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑧𝑦) → 𝑧𝑆)
3837adantll 752 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧𝑆)
39 measvxrge0 30577 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑀𝑧) ∈ (0[,]+∞))
4034, 38, 39syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑧𝑦) → (𝑀𝑧) ∈ (0[,]+∞))
41 simplr 809 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ+)
4233, 40, 41esumdivc 30454 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → (Σ*𝑧𝑦(𝑀𝑧) /𝑒 𝐴) = Σ*𝑧𝑦((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
43423ad2antr1 1204 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → (Σ*𝑧𝑦(𝑀𝑧) /𝑒 𝐴) = Σ*𝑧𝑦((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
4414ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑆 ran sigAlgebra)
45 simpr1 1234 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆)
46 simpr2 1236 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑦 ≼ ω)
47 sigaclcu 30489 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω) → 𝑦𝑆)
4844, 45, 46, 47syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑦𝑆)
49 fveq2 6352 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑀𝑥) = (𝑀 𝑦))
5049oveq1d 6828 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀 𝑦) /𝑒 𝐴))
51 ovex 6841 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴) ∈ V
5250, 12, 51fvmpt3i 6449 . . . . . . . . 9 ( 𝑦𝑆 → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = ((𝑀 𝑦) /𝑒 𝐴))
5348, 52syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = ((𝑀 𝑦) /𝑒 𝐴))
54 simpll 807 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
55 simpr3 1238 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → Disj 𝑧𝑦 𝑧)
56 measvun 30581 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → (𝑀 𝑦) = Σ*𝑧𝑦(𝑀𝑧))
5754, 45, 46, 55, 56syl112anc 1481 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → (𝑀 𝑦) = Σ*𝑧𝑦(𝑀𝑧))
5857oveq1d 6828 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → ((𝑀 𝑦) /𝑒 𝐴) = (Σ*𝑧𝑦(𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
5953, 58eqtrd 2794 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = (Σ*𝑧𝑦(𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
60 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑀𝑥) = (𝑀𝑧))
6160oveq1d 6828 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴) = ((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
6261, 12, 51fvmpt3i 6449 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑆 → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = ((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
6337, 62syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑧𝑦) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = ((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
6463esumeq2dv 30409 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 → Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = Σ*𝑧𝑦((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
6545, 64syl 17 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧) = Σ*𝑧𝑦((𝑀𝑧) /𝑒 𝐴))
6643, 59, 653eqtr4d 2804 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))
6728, 29, 30, 31, 66syl13anc 1479 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧)) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))
6867ex 449 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))
6968ralrimiva 3104 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))
70 ismeas 30571 . . . . . 6 (𝑆 ran sigAlgebra → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))))
7114, 70syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧)))))
7271biimprd 238 . . . 4 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆)))
7372adantr 472 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑧𝑦 𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘ 𝑦) = Σ*𝑧𝑦((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴))‘𝑧))) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆)))
7413, 27, 69, 73mp3and 1576 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 𝐴)) ∈ (measures‘𝑆))
757, 74eqeltrd 2839 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝑀𝑓/𝑐 /𝑒 𝐴) ∈ (measures‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  Vcvv 3340  wss 3715  c0 4058  𝒫 cpw 4302   cuni 4588  Disj wdisj 4772   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  ran crn 5267  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  ωcom 7230  cdom 8119  0cc0 10128  +∞cpnf 10263  +crp 12025  [,]cicc 12371   /𝑒 cxdiv 29934  Σ*cesum 30398  𝑓/𝑐cofc 30466  sigAlgebracsiga 30479  measurescmeas 30567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-ordt 16363  df-xrs 16364  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-ps 17401  df-tsr 17402  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-ntr 21026  df-nei 21104  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-tsms 22131  df-xdiv 29935  df-esum 30399  df-ofc 30467  df-siga 30480  df-meas 30568
This theorem is referenced by:  probfinmeasb  30800
  Copyright terms: Public domain W3C validator