Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meascnbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meascnbl 30622
Description: A measure is continuous from below. Cf. volsup 23544. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
meascnbl.0 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
meascnbl.1 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
meascnbl.2 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑆)
meascnbl.3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
Assertion
Ref Expression
meascnbl (𝜑 → (𝑀𝐹)(⇝𝑡𝐽)(𝑀 ran 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐽   𝑛,𝑀   𝑆,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem meascnbl
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑜 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meascnbl.0 . . 3 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2 meascnbl.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
32adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
4 measbase 30600 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
52, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
65adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑆 ran sigAlgebra)
7 meascnbl.2 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑆)
87ffvelrnda 6502 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑆)
9 simpll 750 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝜑)
10 fzossnn 12725 . . . . . . . . 9 (1..^𝑛) ⊆ ℕ
11 simpr 471 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛))
1210, 11sseldi 3750 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
137ffvelrnda 6502 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
149, 12, 13syl2anc 573 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
1514ralrimiva 3115 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
16 sigaclfu2 30524 . . . . . 6 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘) ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
176, 15, 16syl2anc 573 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
18 difelsiga 30536 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ (𝐹𝑛) ∈ 𝑆 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘) ∈ 𝑆) → ((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘)) ∈ 𝑆)
196, 8, 17, 18syl3anc 1476 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘)) ∈ 𝑆)
20 measvxrge0 30608 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘)) ∈ 𝑆) → (𝑀‘((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘))) ∈ (0[,]+∞))
213, 19, 20syl2anc 573 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀‘((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘))) ∈ (0[,]+∞))
22 fveq2 6332 . . . . 5 (𝑛 = 𝑜 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑜))
23 oveq2 6801 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑜 → (1..^𝑛) = (1..^𝑜))
2423iuneq1d 4679 . . . . 5 (𝑛 = 𝑜 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘) = 𝑘 ∈ (1..^𝑜)(𝐹𝑘))
2522, 24difeq12d 3880 . . . 4 (𝑛 = 𝑜 → ((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑜) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑜)(𝐹𝑘)))
2625fveq2d 6336 . . 3 (𝑛 = 𝑜 → (𝑀‘((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘))) = (𝑀‘((𝐹𝑜) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑜)(𝐹𝑘))))
27 fveq2 6332 . . . . 5 (𝑛 = 𝑝 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑝))
28 oveq2 6801 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑝 → (1..^𝑛) = (1..^𝑝))
2928iuneq1d 4679 . . . . 5 (𝑛 = 𝑝 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘) = 𝑘 ∈ (1..^𝑝)(𝐹𝑘))
3027, 29difeq12d 3880 . . . 4 (𝑛 = 𝑝 → ((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑝) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑝)(𝐹𝑘)))
3130fveq2d 6336 . . 3 (𝑛 = 𝑝 → (𝑀‘((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘))) = (𝑀‘((𝐹𝑝) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑝)(𝐹𝑘))))
321, 21, 26, 31esumcvg2 30489 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑛 ∈ (1...𝑖)(𝑀‘((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘))))(⇝𝑡𝐽*𝑛 ∈ ℕ(𝑀‘((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘))))
33 measfrge0 30606 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
342, 33syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
35 fcompt 6543 . . . 4 ((𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑆) → (𝑀𝐹) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝐹𝑖))))
3634, 7, 35syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐹) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝐹𝑖))))
37 nfcv 2913 . . . . . 6 𝑛(𝐹𝑘)
38 fveq2 6332 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
39 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
4039nnzd 11683 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
41 fzval3 12745 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1)))
4240, 41syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1)))
4342olcd 863 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((1...𝑖) = ℕ ∨ (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1))))
442adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
45 simpll 750 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑖)) → 𝜑)
46 fzossnn 12725 . . . . . . . 8 (1..^(𝑖 + 1)) ⊆ ℕ
4742eleq2d 2836 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ (1...𝑖) ↔ 𝑛 ∈ (1..^(𝑖 + 1))))
4847biimpa 462 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑖)) → 𝑛 ∈ (1..^(𝑖 + 1)))
4946, 48sseldi 3750 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑖)) → 𝑛 ∈ ℕ)
5045, 49, 8syl2anc 573 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑖)) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑆)
5137, 38, 43, 44, 50measiuns 30620 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑀 𝑛 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑛)) = Σ*𝑛 ∈ (1...𝑖)(𝑀‘((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘))))
52 ffn 6185 . . . . . . . 8 (𝐹:ℕ⟶𝑆𝐹 Fn ℕ)
537, 52syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 Fn ℕ)
54 meascnbl.3 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
5553, 54iuninc 29717 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑛) = (𝐹𝑖))
5655fveq2d 6336 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑀 𝑛 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑛)) = (𝑀‘(𝐹𝑖)))
5751, 56eqtr3d 2807 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → Σ*𝑛 ∈ (1...𝑖)(𝑀‘((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘))) = (𝑀‘(𝐹𝑖)))
5857mpteq2dva 4878 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑛 ∈ (1...𝑖)(𝑀‘((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘)))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑀‘(𝐹𝑖))))
5936, 58eqtr4d 2808 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐹) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ*𝑛 ∈ (1...𝑖)(𝑀‘((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘)))))
608ralrimiva 3115 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ 𝑆)
61 dfiun2g 4686 . . . . . 6 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ∈ 𝑆 𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) = {𝑥 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = (𝐹𝑛)})
6260, 61syl 17 . . . . 5 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) = {𝑥 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = (𝐹𝑛)})
63 fnrnfv 6384 . . . . . . 7 (𝐹 Fn ℕ → ran 𝐹 = {𝑥 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = (𝐹𝑛)})
6453, 63syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 = {𝑥 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = (𝐹𝑛)})
6564unieqd 4584 . . . . 5 (𝜑 ran 𝐹 = {𝑥 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 = (𝐹𝑛)})
6662, 65eqtr4d 2808 . . . 4 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) = ran 𝐹)
6766fveq2d 6336 . . 3 (𝜑 → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛)) = (𝑀 ran 𝐹))
68 eqidd 2772 . . . . 5 (𝜑 → ℕ = ℕ)
6968orcd 862 . . . 4 (𝜑 → (ℕ = ℕ ∨ ℕ = (1..^(𝑖 + 1))))
7037, 38, 69, 2, 8measiuns 30620 . . 3 (𝜑 → (𝑀 𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛)) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀‘((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘))))
7167, 70eqtr3d 2807 . 2 (𝜑 → (𝑀 ran 𝐹) = Σ*𝑛 ∈ ℕ(𝑀‘((𝐹𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝐹𝑘))))
7232, 59, 713brtr4d 4818 1 (𝜑 → (𝑀𝐹)(⇝𝑡𝐽)(𝑀 ran 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {cab 2757  wral 3061  wrex 3062  cdif 3720  wss 3723   cuni 4574   ciun 4654   class class class wbr 4786  cmpt 4863  ran crn 5250  ccom 5253   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  +∞cpnf 10273  cn 11222  cz 11579  [,]cicc 12383  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  s cress 16065  TopOpenctopn 16290  *𝑠cxrs 16368  𝑡clm 21251  Σ*cesum 30429  sigAlgebracsiga 30510  measurescmeas 30598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-ac2 9487  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-ac 9139  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007  df-pi 15009  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-ordt 16369  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-ps 17408  df-tsr 17409  df-plusf 17449  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-subrg 18988  df-abv 19027  df-lmod 19075  df-scaf 19076  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-lm 21254  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-tmd 22096  df-tgp 22097  df-tsms 22150  df-trg 22183  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-nm 22607  df-ngp 22608  df-nrg 22610  df-nlm 22611  df-ii 22900  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524  df-esum 30430  df-siga 30511  df-meas 30599
This theorem is referenced by:  dstfrvclim1  30879
  Copyright terms: Public domain W3C validator