Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meaiunlelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meaiunlelem 41196
Description: The measure of the union of countable sets is less or equal to the sum of the measures, Property 112C (d) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiunlelem.1 𝑛𝜑
meaiunlelem.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiunlelem.s 𝑆 = dom 𝑀
meaiunlelem.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiunlelem.e (𝜑𝐸:𝑍𝑆)
meaiunlelem.f 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
Assertion
Ref Expression
meaiunlelem (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑛   𝑛,𝑀   𝑖,𝑁,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛   𝑛,𝑍   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑖,𝑛)   𝑀(𝑖)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem meaiunlelem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiunlelem.1 . . . . . . 7 𝑛𝜑
2 meaiunlelem.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑁)
3 meaiunlelem.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸:𝑍𝑆)
4 meaiunlelem.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
51, 2, 3, 4iundjiun 41188 . . . . . 6 (𝜑 → ((∀𝑥𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑥)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑥)(𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∧ Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)))
65simplrd 745 . . . . 5 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
76eqcomd 2776 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐹𝑛))
87fveq2d 6336 . . 3 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = (𝑀 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)))
9 meaiunlelem.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
10 meaiunlelem.s . . . 4 𝑆 = dom 𝑀
119, 10dmmeasal 41180 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
1211adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
133ffvelrnda 6502 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ 𝑆)
14 fzofi 12980 . . . . . . . . . . 11 (𝑁..^𝑛) ∈ Fin
15 isfinite 8712 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁..^𝑛) ∈ Fin ↔ (𝑁..^𝑛) ≺ ω)
1615biimpi 206 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁..^𝑛) ∈ Fin → (𝑁..^𝑛) ≺ ω)
17 sdomdom 8136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁..^𝑛) ≺ ω → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁..^𝑛) ∈ Fin → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
1914, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑁..^𝑛) ≼ ω
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁..^𝑛) ≼ ω)
213adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝐸:𝑍𝑆)
22 elfzouz 12681 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑁))
232eqcomi 2779 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ𝑁) = 𝑍
2422, 23syl6eleq 2859 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖𝑍)
2524adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖𝑍)
2621, 25ffvelrnd 6503 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝐸𝑖) ∈ 𝑆)
2711, 20, 26saliuncl 41053 . . . . . . . 8 (𝜑 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) ∈ 𝑆)
2827adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) ∈ 𝑆)
29 saldifcl2 41057 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (𝐸𝑛) ∈ 𝑆 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) ∈ 𝑆) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ 𝑆)
3012, 13, 28, 29syl3anc 1475 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ 𝑆)
311, 30, 4fmptdf 6529 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍𝑆)
3231ffvelrnda 6502 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑆)
33 eqid 2770 . . . . . . 7 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
3433uzct 39747 . . . . . 6 (ℤ𝑁) ≼ ω
352, 34eqbrtri 4805 . . . . 5 𝑍 ≼ ω
3635a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑍 ≼ ω)
375simprd 477 . . . 4 (𝜑Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛))
381, 9, 10, 32, 36, 37meadjiun 41194 . . 3 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)) = (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))))
39 eqidd 2771 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))) = (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))))
408, 38, 393eqtrd 2808 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))))
41 fvex 6342 . . . . 5 (ℤ𝑁) ∈ V
422, 41eqeltri 2845 . . . 4 𝑍 ∈ V
4342a1i 11 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ V)
449adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑀 ∈ Meas)
4544, 10, 32meacl 41186 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
4644, 10, 13meacl 41186 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
47 simpr 471 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
48 difexg 4939 . . . . . . 7 ((𝐸𝑛) ∈ 𝑆 → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V)
4913, 48syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V)
504fvmpt2 6433 . . . . . 6 ((𝑛𝑍 ∧ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V) → (𝐹𝑛) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
5147, 49, 50syl2anc 565 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
52 difssd 3887 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ⊆ (𝐸𝑛))
5351, 52eqsstrd 3786 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐸𝑛))
5444, 10, 32, 13, 53meassle 41191 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐹𝑛)) ≤ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
551, 43, 45, 46, 54sge0lempt 41138 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐹𝑛)))) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))))
5640, 55eqbrtrd 4806 1 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wnf 1855  wcel 2144  wral 3060  Vcvv 3349  cdif 3718   ciun 4652  Disj wdisj 4752   class class class wbr 4784  cmpt 4861  dom cdm 5249  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  ωcom 7211  cdom 8106  csdm 8107  Fincfn 8108  cle 10276  cuz 11887  ...cfz 12532  ..^cfzo 12672  SAlgcsalg 41039  Σ^csumge0 41090  Meascmea 41177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-disj 4753  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-omul 7717  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-oi 8570  df-card 8964  df-acn 8967  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-xadd 12151  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624  df-salg 41040  df-sumge0 41091  df-mea 41178
This theorem is referenced by:  meaiunle  41197
  Copyright terms: Public domain W3C validator