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Theorem meaiuninc3v 41196
 Description: Measures are continuous from below: if 𝐸 is a sequence of non-decreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is the general case of Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16 . This theorem generalizes meaiuninc 41193 and meaiuninc2 41194 where the sequence is required to be bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiuninc3v.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiuninc3v.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
meaiuninc3v.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiuninc3v.e (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiuninc3v.i ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiuninc3v.s 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
Assertion
Ref Expression
meaiuninc3v (𝜑𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑀   𝑛,𝑍   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem meaiuninc3v
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiuninc3v.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
21adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 meaiuninc3v.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑁)
4 meaiuninc3v.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
54adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑀 ∈ Meas)
6 eqid 2752 . . . . . 6 dom 𝑀 = dom 𝑀
7 meaiuninc3v.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
87ffvelrnda 6514 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
95, 6, 8meaxrcl 41173 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
10 meaiuninc3v.s . . . . 5 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
119, 10fmptd 6540 . . . 4 (𝜑𝑆:𝑍⟶ℝ*)
1211adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑆:𝑍⟶ℝ*)
13 nfv 1984 . . . . 5 𝑛𝜑
14 nfcv 2894 . . . . . 6 𝑛
15 nfra1 3071 . . . . . 6 𝑛𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥
1614, 15nfrex 3137 . . . . 5 𝑛𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥
1713, 16nfan 1969 . . . 4 𝑛(𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
18 nfcv 2894 . . . 4 𝑛𝐸
194adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑀 ∈ Meas)
207adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
21 meaiuninc3v.i . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
2221adantlr 753 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
23 simpr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
2417, 18, 19, 2, 3, 20, 22, 23, 10meaiunincf 41195 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
252, 3, 12, 24climxlim2 40567 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
26 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
27 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑛 → (𝐸𝑗) = (𝐸𝑛))
2827fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑛 → (𝑀‘(𝐸𝑗)) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
2928breq2d 4808 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑛 → (𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑛))))
3029cbvrexv 3303 . . . . . . . . . 10 (∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑛)))
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑛))))
32 rexr 10269 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
3332ad2antlr 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ*)
349adantlr 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
3533, 34xrltnled 40069 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑛)) ↔ ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
3635rexbidva 3179 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑛𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑛)) ↔ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
3731, 36bitrd 268 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
3837ralbidva 3115 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
39 rexnal 3125 . . . . . . . . . 10 (∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
4039ralbii 3110 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
41 ralnex 3122 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
4240, 41bitri 264 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
4342a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
4438, 43bitrd 268 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
4544adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
4626, 45mpbird 247 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
47 simpr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
4846, 47syldan 488 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
49 simp-4r 827 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5049, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
51 simp-4l 825 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
523uztrn2 11889 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛𝑍)
5352ad4ant24 1210 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛𝑍)
5411ffvelrnda 6514 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑆𝑛) ∈ ℝ*)
5551, 53, 54syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑆𝑛) ∈ ℝ*)
56 eleq1w 2814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛𝑍𝑗𝑍))
5756anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑗 → ((𝜑𝑛𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
58 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑗 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑗))
5958fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑗 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑀‘(𝐸𝑗)))
6059eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ* ↔ (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∈ ℝ*))
6157, 60imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑗 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ*) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∈ ℝ*)))
6261, 9chvarv 2400 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∈ ℝ*)
6362ad5ant13 1213 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∈ ℝ*)
64 simplr 809 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
6543ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑀 ∈ Meas)
667ffvelrnda 6514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐸𝑗) ∈ dom 𝑀)
67663adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐸𝑗) ∈ dom 𝑀)
68 simp1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
69523adant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛𝑍)
7068, 69, 8syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
71 simp3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))
72 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → 𝜑)
733uzssd3 40143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗𝑍 → (ℤ𝑗) ⊆ 𝑍)
7473adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → (ℤ𝑗) ⊆ 𝑍)
75 elfzouz 12660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
7675adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
7774, 76sseldd 3737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → 𝑘𝑍)
7877adantll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → 𝑘𝑍)
79 eleq1w 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝑍𝑘𝑍))
8079anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑𝑛𝑍) ↔ (𝜑𝑘𝑍)))
81 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑘))
82 oveq1 6812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + 1) = (𝑘 + 1))
8382fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑘 + 1)))
8481, 83sseq12d 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))))
8580, 84imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))))
8685, 21chvarv 2400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
8772, 78, 86syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
88873adantl3 1171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
8971, 88ssinc 39755 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐸𝑗) ⊆ (𝐸𝑛))
9065, 6, 67, 70, 89meassle 41175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ≤ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
91 fvexd 6356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ V)
9210fvmpt2 6445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ V) → (𝑆𝑛) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
9352, 91, 92syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑆𝑛) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
94933adant1 1124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑆𝑛) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
9590, 94breqtrrd 4824 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ≤ (𝑆𝑛))
9695ad5ant135 1465 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ≤ (𝑆𝑛))
9750, 63, 55, 64, 96xrltletrd 12177 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 < (𝑆𝑛))
9850, 55, 97xrltled 39977 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝑆𝑛))
9998ralrimiva 3096 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛))
10099ex 449 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) → (𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛)))
101100reximdva 3147 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛)))
102101ralimdva 3092 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛)))
103102imp 444 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛))
104 nfmpt1 4891 . . . . . . . 8 𝑛(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
10510, 104nfcxfr 2892 . . . . . . 7 𝑛𝑆
106105, 1, 3, 11xlimpnf 40563 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛)))
107106adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → (𝑆~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛)))
108103, 107mpbird 247 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑆~~>*+∞)
109 nfv 1984 . . . . . . 7 𝑥𝜑
110 nfra1 3071 . . . . . . 7 𝑥𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))
111109, 110nfan 1969 . . . . . 6 𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
112 rspa 3060 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
113112adantll 752 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
114 nfv 1984 . . . . . . . . . 10 𝑗𝜑
115 nfcv 2894 . . . . . . . . . . 11 𝑗
116 nfre1 3135 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))
117115, 116nfral 3075 . . . . . . . . . 10 𝑗𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))
118114, 117nfan 1969 . . . . . . . . 9 𝑗(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
119 nfv 1984 . . . . . . . . 9 𝑗 𝑥 ∈ ℝ
120118, 119nfan 1969 . . . . . . . 8 𝑗((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ)
121 nfv 1984 . . . . . . . 8 𝑗 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
12232ad3antlr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
1234, 6dmmeasal 41164 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
1243uzct 39723 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑍 ≼ ω
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ≼ ω)
126123, 125, 8saliuncl 41037 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
1274, 6, 126meaxrcl 41173 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
128127ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
12962ad4ant13 1204 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∈ ℝ*)
130 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
1314adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑀 ∈ Meas)
132126adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
13358ssiun2s 4708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗𝑍 → (𝐸𝑗) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
134133adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐸𝑗) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
135131, 6, 66, 132, 134meassle 41175 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
136135ad4ant13 1204 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
137122, 129, 128, 130, 136xrltletrd 12177 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑥 < (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
138122, 128, 137xrltled 39977 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
139138exp31 631 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑗𝑍 → (𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))))
140139adantlr 753 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑗𝑍 → (𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))))
141120, 121, 140rexlimd 3156 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))))
142113, 141mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
143111, 142ralrimia 39806 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
144 xrpnf 40206 . . . . . . 7 ((𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ* → ((𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))))
145127, 144syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))))
146145adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → ((𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))))
147143, 146mpbird 247 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = +∞)
148108, 147breqtrrd 4824 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
14948, 148syldan 488 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
15025, 149pm2.61dan 867 1 (𝜑𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  ∀wral 3042  ∃wrex 3043  Vcvv 3332   ⊆ wss 3707  ∪ ciun 4664   class class class wbr 4796   ↦ cmpt 4873  dom cdm 5258  ⟶wf 6037  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  ωcom 7222   ≼ cdom 8111  ℝcr 10119  1c1 10121   + caddc 10123  +∞cpnf 10255  ℝ*cxr 10257   < clt 10258   ≤ cle 10259  ℤcz 11561  ℤ≥cuz 11871  ..^cfzo 12651  ~~>*clsxlim 40539  Meascmea 41161 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-disj 4765  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-omul 7726  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-acn 8950  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ioc 12365  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-rest 16277  df-topn 16278  df-topgen 16298  df-ordt 16355  df-ps 17393  df-tsr 17394  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-lm 21227  df-xms 22318  df-ms 22319  df-xlim 40540  df-salg 41024  df-sumge0 41075  df-mea 41162 This theorem is referenced by:  meaiuninc3  41197
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