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Theorem meaiuninc3v 41196
Description: Measures are continuous from below: if 𝐸 is a sequence of non-decreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is the general case of Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16 . This theorem generalizes meaiuninc 41193 and meaiuninc2 41194 where the sequence is required to be bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiuninc3v.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiuninc3v.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
meaiuninc3v.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiuninc3v.e (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiuninc3v.i ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiuninc3v.s 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
Assertion
Ref Expression
meaiuninc3v (𝜑𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑀   𝑛,𝑍   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem meaiuninc3v
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiuninc3v.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
21adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 meaiuninc3v.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑁)
4 meaiuninc3v.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
54adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑀 ∈ Meas)
6 eqid 2752 . . . . . 6 dom 𝑀 = dom 𝑀
7 meaiuninc3v.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
87ffvelrnda 6514 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
95, 6, 8meaxrcl 41173 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
10 meaiuninc3v.s . . . . 5 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
119, 10fmptd 6540 . . . 4 (𝜑𝑆:𝑍⟶ℝ*)
1211adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑆:𝑍⟶ℝ*)
13 nfv 1984 . . . . 5 𝑛𝜑
14 nfcv 2894 . . . . . 6 𝑛
15 nfra1 3071 . . . . . 6 𝑛𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥
1614, 15nfrex 3137 . . . . 5 𝑛𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥
1713, 16nfan 1969 . . . 4 𝑛(𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
18 nfcv 2894 . . . 4 𝑛𝐸
194adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑀 ∈ Meas)
207adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
21 meaiuninc3v.i . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
2221adantlr 753 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
23 simpr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
2417, 18, 19, 2, 3, 20, 22, 23, 10meaiunincf 41195 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
252, 3, 12, 24climxlim2 40567 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
26 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
27 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑛 → (𝐸𝑗) = (𝐸𝑛))
2827fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑛 → (𝑀‘(𝐸𝑗)) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
2928breq2d 4808 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑛 → (𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑛))))
3029cbvrexv 3303 . . . . . . . . . 10 (∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑛)))
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑛))))
32 rexr 10269 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
3332ad2antlr 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ*)
349adantlr 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
3533, 34xrltnled 40069 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑛)) ↔ ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
3635rexbidva 3179 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑛𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑛)) ↔ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
3731, 36bitrd 268 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
3837ralbidva 3115 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
39 rexnal 3125 . . . . . . . . . 10 (∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
4039ralbii 3110 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
41 ralnex 3122 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
4240, 41bitri 264 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
4342a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑛𝑍 ¬ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
4438, 43bitrd 268 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
4544adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥))
4626, 45mpbird 247 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
47 simpr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
4846, 47syldan 488 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
49 simp-4r 827 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5049, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
51 simp-4l 825 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
523uztrn2 11889 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛𝑍)
5352ad4ant24 1210 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛𝑍)
5411ffvelrnda 6514 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑆𝑛) ∈ ℝ*)
5551, 53, 54syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑆𝑛) ∈ ℝ*)
56 eleq1w 2814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛𝑍𝑗𝑍))
5756anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑗 → ((𝜑𝑛𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
58 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑗 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑗))
5958fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑗 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑀‘(𝐸𝑗)))
6059eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ* ↔ (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∈ ℝ*))
6157, 60imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑗 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ*) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∈ ℝ*)))
6261, 9chvarv 2400 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∈ ℝ*)
6362ad5ant13 1213 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∈ ℝ*)
64 simplr 809 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
6543ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑀 ∈ Meas)
667ffvelrnda 6514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐸𝑗) ∈ dom 𝑀)
67663adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐸𝑗) ∈ dom 𝑀)
68 simp1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
69523adant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛𝑍)
7068, 69, 8syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
71 simp3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))
72 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → 𝜑)
733uzssd3 40143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗𝑍 → (ℤ𝑗) ⊆ 𝑍)
7473adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → (ℤ𝑗) ⊆ 𝑍)
75 elfzouz 12660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
7675adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
7774, 76sseldd 3737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → 𝑘𝑍)
7877adantll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → 𝑘𝑍)
79 eleq1w 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝑍𝑘𝑍))
8079anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → ((𝜑𝑛𝑍) ↔ (𝜑𝑘𝑍)))
81 fveq2 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑘))
82 oveq1 6812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + 1) = (𝑘 + 1))
8382fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑘 + 1)))
8481, 83sseq12d 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1))))
8580, 84imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑘 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ↔ ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))))
8685, 21chvarv 2400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
8772, 78, 86syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
88873adantl3 1171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗..^𝑛)) → (𝐸𝑘) ⊆ (𝐸‘(𝑘 + 1)))
8971, 88ssinc 39755 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐸𝑗) ⊆ (𝐸𝑛))
9065, 6, 67, 70, 89meassle 41175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ≤ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
91 fvexd 6356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ V)
9210fvmpt2 6445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ V) → (𝑆𝑛) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
9352, 91, 92syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑆𝑛) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
94933adant1 1124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑆𝑛) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
9590, 94breqtrrd 4824 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ≤ (𝑆𝑛))
9695ad5ant135 1465 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ≤ (𝑆𝑛))
9750, 63, 55, 64, 96xrltletrd 12177 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 < (𝑆𝑛))
9850, 55, 97xrltled 39977 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝑆𝑛))
9998ralrimiva 3096 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛))
10099ex 449 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) → (𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛)))
101100reximdva 3147 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛)))
102101ralimdva 3092 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛)))
103102imp 444 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛))
104 nfmpt1 4891 . . . . . . . 8 𝑛(𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
10510, 104nfcxfr 2892 . . . . . . 7 𝑛𝑆
106105, 1, 3, 11xlimpnf 40563 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛)))
107106adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → (𝑆~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝑆𝑛)))
108103, 107mpbird 247 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑆~~>*+∞)
109 nfv 1984 . . . . . . 7 𝑥𝜑
110 nfra1 3071 . . . . . . 7 𝑥𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))
111109, 110nfan 1969 . . . . . 6 𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
112 rspa 3060 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
113112adantll 752 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
114 nfv 1984 . . . . . . . . . 10 𝑗𝜑
115 nfcv 2894 . . . . . . . . . . 11 𝑗
116 nfre1 3135 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))
117115, 116nfral 3075 . . . . . . . . . 10 𝑗𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))
118114, 117nfan 1969 . . . . . . . . 9 𝑗(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
119 nfv 1984 . . . . . . . . 9 𝑗 𝑥 ∈ ℝ
120118, 119nfan 1969 . . . . . . . 8 𝑗((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ)
121 nfv 1984 . . . . . . . 8 𝑗 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
12232ad3antlr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
1234, 6dmmeasal 41164 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
1243uzct 39723 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑍 ≼ ω
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ≼ ω)
126123, 125, 8saliuncl 41037 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
1274, 6, 126meaxrcl 41173 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
128127ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
12962ad4ant13 1204 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ∈ ℝ*)
130 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)))
1314adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑀 ∈ Meas)
132126adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
13358ssiun2s 4708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗𝑍 → (𝐸𝑗) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
134133adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐸𝑗) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
135131, 6, 66, 132, 134meassle 41175 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
136135ad4ant13 1204 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → (𝑀‘(𝐸𝑗)) ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
137122, 129, 128, 130, 136xrltletrd 12177 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑥 < (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
138122, 128, 137xrltled 39977 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
139138exp31 631 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑗𝑍 → (𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))))
140139adantlr 753 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑗𝑍 → (𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))))
141120, 121, 140rexlimd 3156 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))))
142113, 141mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
143111, 142ralrimia 39806 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
144 xrpnf 40206 . . . . . . 7 ((𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ* → ((𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))))
145127, 144syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))))
146145adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → ((𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))))
147143, 146mpbird 247 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = +∞)
148108, 147breqtrrd 4824 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍 𝑥 < (𝑀‘(𝐸𝑗))) → 𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
14948, 148syldan 488 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥) → 𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
15025, 149pm2.61dan 867 1 (𝜑𝑆~~>*(𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wral 3042  wrex 3043  Vcvv 3332  wss 3707   ciun 4664   class class class wbr 4796  cmpt 4873  dom cdm 5258  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  ωcom 7222  cdom 8111  cr 10119  1c1 10121   + caddc 10123  +∞cpnf 10255  *cxr 10257   < clt 10258  cle 10259  cz 11561  cuz 11871  ..^cfzo 12651  ~~>*clsxlim 40539  Meascmea 41161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-disj 4765  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-omul 7726  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-acn 8950  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ioc 12365  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-rest 16277  df-topn 16278  df-topgen 16298  df-ordt 16355  df-ps 17393  df-tsr 17394  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-lm 21227  df-xms 22318  df-ms 22319  df-xlim 40540  df-salg 41024  df-sumge0 41075  df-mea 41162
This theorem is referenced by:  meaiuninc3  41197
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