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Theorem meaiininclem 41021
Description: Measures are continuous from above: if 𝐸 is a non-increasing sequence of measurable sets, and any of the sets has finite measure, then the measure of the intersection is the limit of the measures. This is Proposition 112C (f) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiininclem.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiininclem.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
meaiininclem.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiininclem.e (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiininclem.i ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸𝑛))
meaiininclem.k (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁))
meaiininclem.r (𝜑 → (𝑀‘(𝐸𝐾)) ∈ ℝ)
meaiininclem.s 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
meaiininclem.g 𝐺 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
meaiininclem.f 𝐹 = 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)
Assertion
Ref Expression
meaiininclem (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑛,𝐾   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑛,𝑍   𝜑,𝑛
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem meaiininclem
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiininclem.k . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁))
2 uzss 11746 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑁))
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑁))
4 meaiininclem.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ𝑁)
53, 4syl6sseqr 3685 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ 𝑍)
65adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (ℤ𝐾) ⊆ 𝑍)
7 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝐾))
86, 7sseldd 3637 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑛𝑍)
9 meaiininclem.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛))))
11 meaiininclem.m . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
12 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom 𝑀 = dom 𝑀
1311, 12dmmeasal 40987 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
1413adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → dom 𝑀 ∈ SAlg)
151, 4syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐾𝑍)
16 meaiininclem.e . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
1716ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐾𝑍) → (𝐸𝐾) ∈ dom 𝑀)
1815, 17mpdan 703 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸𝐾) ∈ dom 𝑀)
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝐾) ∈ dom 𝑀)
2016ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
21 saldifcl2 40864 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝑀 ∈ SAlg ∧ (𝐸𝐾) ∈ dom 𝑀 ∧ (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ∈ dom 𝑀)
2214, 19, 20, 21syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ∈ dom 𝑀)
2322elexd 3245 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ∈ V)
2410, 23fvmpt2d 6332 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) = ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
258, 24syldan 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑛) = ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
2625fveq2d 6233 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐺𝑛)) = (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛))))
2711adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑀 ∈ Meas)
2818adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐸𝐾) ∈ dom 𝑀)
29 meaiininclem.r . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸𝐾)) ∈ ℝ)
3029adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐸𝐾)) ∈ ℝ)
318, 20syldan 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐸𝑛) ∈ dom 𝑀)
32 simpl 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛)) → 𝜑)
3332, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛)) → (ℤ𝐾) ⊆ 𝑍)
34 elfzouz 12513 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ𝐾))
3534adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝐾))
3633, 35sseldd 3637 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛)) → 𝑚𝑍)
37 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛𝑍𝑚𝑍))
3837anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑𝑛𝑍) ↔ (𝜑𝑚𝑍)))
39 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 + 1) = (𝑚 + 1))
4039fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑚 + 1)))
41 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑚))
4240, 41sseq12d 3667 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸𝑛) ↔ (𝐸‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐸𝑚)))
4338, 42imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸𝑛)) ↔ ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐸‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐸𝑚))))
44 meaiininclem.i . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸𝑛))
4543, 44chvarv 2299 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐸‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐸𝑚))
4632, 36, 45syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛)) → (𝐸‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐸𝑚))
4746adantlr 751 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑚 ∈ (𝐾..^𝑛)) → (𝐸‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐸𝑚))
487, 47ssdec 39579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
4927, 28, 30, 31, 48meadif 41014 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛))) = ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐸𝑛))))
5026, 49eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐺𝑛)) = ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐸𝑛))))
5150oveq2d 6706 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐺𝑛))) = ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐸𝑛)))))
5229recnd 10106 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸𝐾)) ∈ ℂ)
5352adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐸𝐾)) ∈ ℂ)
5427, 28, 30, 48, 31meassre 41012 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ)
5554recnd 10106 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) ∈ ℂ)
5653, 55nncand 10435 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐸𝑛)))) = (𝑀‘(𝐸𝑛)))
5751, 56eqtr2d 2686 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐺𝑛))))
5857mpteq2dva 4777 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐺𝑛)))))
59 nfv 1883 . . . . 5 𝑛𝜑
60 eqid 2651 . . . . 5 (ℤ𝐾) = (ℤ𝐾)
611eluzelzd 39904 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
62 difssd 3771 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ⊆ (𝐸𝐾))
6324, 62eqsstrd 3672 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
648, 63syldan 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
6522, 9fmptd 6425 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:𝑍⟶dom 𝑀)
6665ffvelrnda 6399 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) ∈ dom 𝑀)
678, 66syldan 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑛) ∈ dom 𝑀)
6827, 28, 30, 64, 67meassre 41012 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐺𝑛)) ∈ ℝ)
6968recnd 10106 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀‘(𝐺𝑛)) ∈ ℂ)
70 meaiininclem.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7144sscond 3780 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ⊆ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸‘(𝑛 + 1))))
7241difeq2d 3761 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) = ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑚)))
7372cbvmptv 4783 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛))) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑚)))
749, 73eqtri 2673 . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑚)))
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐺 = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑚))))
76 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝐸𝑚) = (𝐸‘(𝑛 + 1)))
7776difeq2d 3761 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑚)) = ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸‘(𝑛 + 1))))
7877adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑚 = (𝑛 + 1)) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑚)) = ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸‘(𝑛 + 1))))
794peano2uzs 11780 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑍 → (𝑛 + 1) ∈ 𝑍)
8079adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑛 + 1) ∈ 𝑍)
81 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸𝐾) ∈ V
8281difexi 4842 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ∈ V
8382a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸‘(𝑛 + 1))) ∈ V)
8475, 78, 80, 83fvmptd 6327 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺‘(𝑛 + 1)) = ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸‘(𝑛 + 1))))
8524, 84sseq12d 3667 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐺𝑛) ⊆ (𝐺‘(𝑛 + 1)) ↔ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ⊆ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸‘(𝑛 + 1)))))
8671, 85mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) ⊆ (𝐺‘(𝑛 + 1)))
8711adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑀 ∈ Meas)
8887, 12, 66, 19, 63meassle 40998 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀‘(𝐺𝑛)) ≤ (𝑀‘(𝐸𝐾)))
89 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛)))
9011, 70, 4, 65, 86, 29, 88, 89meaiuninc2 41017 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)))
91 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) = (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛)))
924, 89, 15, 91climresmpt 40209 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)) ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐺𝑛))))
9390, 92mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)))
94 meaiininclem.f . . . . . . . . 9 𝐹 = 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)
9594eqcomi 2660 . . . . . . . 8 𝑛𝑍 (𝐺𝑛) = 𝐹
9695fveq2i 6232 . . . . . . 7 (𝑀 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)) = (𝑀𝐹)
9796a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐺𝑛)) = (𝑀𝐹))
9893, 97breqtrd 4711 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐺𝑛))) ⇝ (𝑀𝐹))
9959, 60, 61, 52, 69, 98climsubc1mpt 40212 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀‘(𝐺𝑛)))) ⇝ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)))
10058, 99eqbrtrd 4707 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) ⇝ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)))
101 eqid 2651 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
102 eqid 2651 . . . 4 (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
1034, 101, 15, 102climresmpt 40209 . . 3 (𝜑 → ((𝑛 ∈ (ℤ𝐾) ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) ⇝ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)) ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) ⇝ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹))))
104100, 103mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) ⇝ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)))
105 meaiininclem.s . . . 4 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
106105a1i 11 . . 3 (𝜑𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))))
107 eqidd 2652 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹 ∪ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))) = (𝑀‘(𝐹 ∪ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))))
1084uzct 39546 . . . . . . . . . 10 𝑍 ≼ ω
109108a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ≼ ω)
11013, 109, 66saliuncl 40860 . . . . . . . 8 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐺𝑛) ∈ dom 𝑀)
11194, 110syl5eqel 2734 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ dom 𝑀)
112 saldifcl2 40864 . . . . . . . 8 ((dom 𝑀 ∈ SAlg ∧ (𝐸𝐾) ∈ dom 𝑀𝐹 ∈ dom 𝑀) → ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∈ dom 𝑀)
11313, 18, 111, 112syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∈ dom 𝑀)
114 disjdif 4073 . . . . . . . 8 (𝐹 ∩ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) = ∅
115114a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ∩ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) = ∅)
11663iunssd 39585 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐺𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
11794, 116syl5eqss 3682 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ⊆ (𝐸𝐾))
11811, 18, 29, 117, 111meassre 41012 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀𝐹) ∈ ℝ)
119 difssd 3771 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ⊆ (𝐸𝐾))
12011, 18, 29, 119, 113meassre 41012 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∈ ℝ)
12111, 12, 111, 113, 115, 118, 120meadjunre 41011 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹 ∪ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))) = ((𝑀𝐹) + (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))))
122 undif 4082 . . . . . . . 8 (𝐹 ⊆ (𝐸𝐾) ↔ (𝐹 ∪ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) = (𝐸𝐾))
123117, 122sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ∪ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) = (𝐸𝐾))
124123fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹 ∪ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))) = (𝑀‘(𝐸𝐾)))
125107, 121, 1243eqtr3d 2693 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀𝐹) + (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))) = (𝑀‘(𝐸𝐾)))
126118recnd 10106 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝐹) ∈ ℂ)
127120recnd 10106 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∈ ℂ)
12852, 126, 127subaddd 10448 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)) = (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ↔ ((𝑀𝐹) + (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))) = (𝑀‘(𝐸𝐾))))
129125, 128mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)) = (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)))
130 simpllr 815 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))
131 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑛𝑍)
132 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) → 𝑥 ∈ (𝐸𝐾))
133132ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐸𝐾))
134 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
135133, 134eldifd 3618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
136 rspe 3032 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛𝑍𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛))) → ∃𝑛𝑍 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
137131, 135, 136syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → ∃𝑛𝑍 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
138 eliun 4556 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
139137, 138sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
140139adantlll 754 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
14194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 = 𝑛𝑍 (𝐺𝑛))
14224iuneq2dv 4574 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐺𝑛) = 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
143141, 142eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 = 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
144143eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) = 𝐹)
145144ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) = 𝐹)
146140, 145eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → 𝑥𝐹)
147 elndif 3767 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐹 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∧ 𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))
149130, 148condan 852 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
150149ralrimiva 2995 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) → ∀𝑛𝑍 𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
151 vex 3234 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
152 eliin 4557 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ V → (𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ↔ ∀𝑛𝑍 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)))
153151, 152ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ↔ ∀𝑛𝑍 𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
154150, 153sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) → 𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
155154ssd 39566 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
156 ssid 3657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸𝐾) ⊆ (𝐸𝐾)
157156a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸𝐾) ⊆ (𝐸𝐾))
158 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝐾 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝐾))
159158sseq1d 3665 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝐾 → ((𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾) ↔ (𝐸𝐾) ⊆ (𝐸𝐾)))
160159rspcev 3340 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾𝑍 ∧ (𝐸𝐾) ⊆ (𝐸𝐾)) → ∃𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
16115, 157, 160syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
162 iinss 4603 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾) → 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
163161, 162syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
164163adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝐾))
165 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → 𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
166164, 165sseldd 3637 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐸𝐾))
167 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝑥
168 nfii1 4583 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)
169167, 168nfel 2806 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)
170 iinss2 4604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑍 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝑛))
171170adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸𝑛))
172 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
173171, 172sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
174 elndif 3767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
175173, 174syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
176175ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) → (𝑛𝑍 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛))))
177169, 176ralrimi 2986 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) → ∀𝑛𝑍 ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
178 ralnex 3021 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛𝑍 ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) ↔ ¬ ∃𝑛𝑍 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
179177, 178sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) → ¬ ∃𝑛𝑍 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
180179, 138sylnibr 318 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) → ¬ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
181180adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → ¬ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
182143adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → 𝐹 = 𝑛𝑍 ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))
183181, 182neleqtrrd 2752 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → ¬ 𝑥𝐹)
184166, 183eldifd 3618 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) → 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))
185184ssd 39566 . . . . . 6 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹))
186155, 185eqssd 3653 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸𝐾) ∖ 𝐹) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
187186fveq2d 6233 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘((𝐸𝐾) ∖ 𝐹)) = (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
188129, 187eqtr2d 2686 . . 3 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹)))
189106, 188breq12d 4698 . 2 (𝜑 → (𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) ⇝ ((𝑀‘(𝐸𝐾)) − (𝑀𝐹))))
190104, 189mpbird 247 1 (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948   ciun 4552   ciin 4553   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  ωcom 7107  cdom 7995  cc 9972  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977  cmin 10304  cz 11415  cuz 11725  ..^cfzo 12504  cli 14259  SAlgcsalg 40846  Meascmea 40984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-salg 40847  df-sumge0 40898  df-mea 40985
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