Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meaiininc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meaiininc 41022
 Description: Measures are continuous from above: if 𝐸 is a non-increasing sequence of measurable sets, and any of the sets has finite measure, then the measure of the intersection is the limit of the measures. This is Proposition 112C (f) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiininc.f 𝑛𝜑
meaiininc.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiininc.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
meaiininc.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiininc.e (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiininc.i ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸𝑛))
meaiininc.k (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁))
meaiininc.r (𝜑 → (𝑀‘(𝐸𝐾)) ∈ ℝ)
meaiininc.s 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
Assertion
Ref Expression
meaiininc (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝐾   𝑛,𝑀   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem meaiininc
Dummy variables 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiininc.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
2 meaiininc.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3 meaiininc.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑁)
4 meaiininc.e . . 3 (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
5 meaiininc.f . . . . . 6 𝑛𝜑
6 nfv 1883 . . . . . 6 𝑛 𝑖𝑍
75, 6nfan 1868 . . . . 5 𝑛(𝜑𝑖𝑍)
8 nfv 1883 . . . . 5 𝑛(𝐸‘(𝑖 + 1)) ⊆ (𝐸𝑖)
97, 8nfim 1865 . . . 4 𝑛((𝜑𝑖𝑍) → (𝐸‘(𝑖 + 1)) ⊆ (𝐸𝑖))
10 eleq1 2718 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 → (𝑛𝑍𝑖𝑍))
1110anbi2d 740 . . . . 5 (𝑛 = 𝑖 → ((𝜑𝑛𝑍) ↔ (𝜑𝑖𝑍)))
12 oveq1 6697 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑖 → (𝑛 + 1) = (𝑖 + 1))
1312fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑖 + 1)))
14 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑖))
1513, 14sseq12d 3667 . . . . 5 (𝑛 = 𝑖 → ((𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸𝑛) ↔ (𝐸‘(𝑖 + 1)) ⊆ (𝐸𝑖)))
1611, 15imbi12d 333 . . . 4 (𝑛 = 𝑖 → (((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸𝑛)) ↔ ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐸‘(𝑖 + 1)) ⊆ (𝐸𝑖))))
17 meaiininc.i . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸𝑛))
189, 16, 17chvar 2298 . . 3 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝐸‘(𝑖 + 1)) ⊆ (𝐸𝑖))
19 meaiininc.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁))
20 meaiininc.r . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸𝐾)) ∈ ℝ)
21 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑚 = 𝑖 → (𝐸𝑚) = (𝐸𝑖))
2221fveq2d 6233 . . . 4 (𝑚 = 𝑖 → (𝑀‘(𝐸𝑚)) = (𝑀‘(𝐸𝑖)))
2322cbvmptv 4783 . . 3 (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚))) = (𝑖𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑖)))
2414difeq2d 3761 . . . 4 (𝑛 = 𝑖 → ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)) = ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑖)))
2524cbvmptv 4783 . . 3 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛))) = (𝑖𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑖)))
26 fveq2 6229 . . . 4 (𝑚 = 𝑖 → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))‘𝑚) = ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))‘𝑖))
2726cbviunv 4591 . . 3 𝑚𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))‘𝑚) = 𝑖𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝐾) ∖ (𝐸𝑛)))‘𝑖)
281, 2, 3, 4, 18, 19, 20, 23, 25, 27meaiininclem 41021 . 2 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚))) ⇝ (𝑀 𝑖𝑍 (𝐸𝑖)))
29 meaiininc.s . . . . 5 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
30 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑚))
3130fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑀‘(𝐸𝑚)))
3231cbvmptv 4783 . . . . 5 (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚)))
3329, 32eqtri 2673 . . . 4 𝑆 = (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚)))
3433a1i 11 . . 3 (𝜑𝑆 = (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚))))
3514cbviinv 4592 . . . . 5 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = 𝑖𝑍 (𝐸𝑖)
3635fveq2i 6232 . . . 4 (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = (𝑀 𝑖𝑍 (𝐸𝑖))
3736a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = (𝑀 𝑖𝑍 (𝐸𝑖)))
3834, 37breq12d 4698 . 2 (𝜑 → (𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ↔ (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚))) ⇝ (𝑀 𝑖𝑍 (𝐸𝑖))))
3928, 38mpbird 247 1 (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523  Ⅎwnf 1748   ∈ wcel 2030   ∖ cdif 3604   ⊆ wss 3607  ∪ ciun 4552  ∩ ciin 4553   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  dom cdm 5143  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  1c1 9975   + caddc 9977  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725   ⇝ cli 14259  Meascmea 40984 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-salg 40847  df-sumge0 40898  df-mea 40985 This theorem is referenced by:  meaiininc2  41023  vonicclem2  41219
 Copyright terms: Public domain W3C validator