Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meadif Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The measure of the difference of two sets. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
meadif.r (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
meadif (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) − (𝑀𝐵)))

StepHypRef Expression
1 meadif.s . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐴)
2 undif 4181 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴)
31, 2sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴)
43eqcomd 2754 . . . 4 (𝜑𝐴 = (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)))
54fveq2d 6344 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐴) = (𝑀‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))))
6 meadif.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
7 eqid 2748 . . . 4 dom 𝑀 = dom 𝑀
8 meadif.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑀)
96, 7dmmeasal 41141 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
10 meadif.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑀)
11 saldifcl2 41018 . . . . 5 ((dom 𝑀 ∈ SAlg ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑀𝐵 ∈ dom 𝑀) → (𝐴𝐵) ∈ dom 𝑀)
129, 10, 8, 11syl3anc 1463 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ dom 𝑀)
13 disjdif 4172 . . . . 5 (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
15 meadif.r . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ)
166, 10, 15, 1, 8meassre 41166 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ ℝ)
17 difssd 3869 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
186, 10, 15, 17, 12meassre 41166 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
196, 7, 8, 12, 14, 16, 18meadjunre 41165 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = ((𝑀𝐵) + (𝑀‘(𝐴𝐵))))
205, 19eqtr2d 2783 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝐵) + (𝑀‘(𝐴𝐵))) = (𝑀𝐴))
2116recnd 10231 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ ℂ)
2218recnd 10231 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
2315recnd 10231 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℂ)
2421, 22, 23addrsub 10611 . 2 (𝜑 → (((𝑀𝐵) + (𝑀‘(𝐴𝐵))) = (𝑀𝐴) ↔ (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) − (𝑀𝐵))))
2520, 24mpbid 222 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀𝐴) − (𝑀𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ∖ cdif 3700   ∪ cun 3701   ∩ cin 3702   ⊆ wss 3703  ∅c0 4046  dom cdm 5254  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  ℝcr 10098   + caddc 10102   − cmin 10429  SAlgcsalg 41000  Meascmea 41138 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-disj 4761  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-xadd 12111  df-ico 12345  df-icc 12346  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-seq 12967  df-exp 13026  df-hash 13283  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-clim 14389  df-sum 14587  df-salg 41001  df-sumge0 41052  df-mea 41139 This theorem is referenced by:  meaiininclem  41175
 Copyright terms: Public domain W3C validator