Theorem meacl 41193

Description: The measure of a set is a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
meacl.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meacl.2	⊢ 𝑆 = dom 𝑀
meacl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
meacl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem meacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		meacl.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
3		meacl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
4		meacl.2	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom 𝑀
5	3, 4	meaf 41188	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆⟶(0[,]+∞))
6	5	ffvelrnda 6501	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
7	1, 2, 6	syl2anc 693	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1629   ∈ wcel 2143  dom cdm 5248  ‘cfv 6030  (class class class)co 6791  0cc0 10136  +∞cpnf 10271  [,]cicc 12382  Meascmea 41184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pr 5033

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4572  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-id 5156  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-mea 41185

This theorem is referenced by:  meaxrcl  41196  meassle  41198  meaiunlelem  41203  meage0  41210  voncl  41401