Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdsymlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdsymlem6 29395
 Description: Lemma for mdsymi 29398. This is the converse direction of Lemma 4(i) of [Maeda] p. 168, and is based on the proof of Theorem 1(d) to (e) of [Maeda] p. 167. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsymlem1.1 𝐴C
mdsymlem1.2 𝐵C
mdsymlem1.3 𝐶 = (𝐴 𝑝)
Assertion
Ref Expression
mdsymlem6 (∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → 𝐵 𝑀* 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐶   𝑞,𝑝,𝑟,𝐴   𝐵,𝑝,𝑞,𝑟
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑝)

Proof of Theorem mdsymlem6
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdsymlem1.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴C
2 mdsymlem1.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵C
31, 2chjcomi 28455 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐴)
43sseq2i 3663 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ 𝑝 ⊆ (𝐵 𝐴))
54anbi2i 730 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝑐𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝑝𝑐𝑝 ⊆ (𝐵 𝐴)))
6 ssin 3868 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝑐𝑝 ⊆ (𝐵 𝐴)) ↔ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)))
75, 6bitri 264 . . . . . . . . 9 ((𝑝𝑐𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ 𝑝 ⊆ (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)))
8 mdsymlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 = (𝐴 𝑝)
91, 2, 8mdsymlem5 29394 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (¬ 𝑞 = 𝑝 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))))
10 sseq1 3659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞𝐴𝑝𝐴))
11 chincl 28486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑐C𝐵C ) → (𝑐𝐵) ∈ C )
122, 11mpan2 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑐C → (𝑐𝐵) ∈ C )
13 chub2 28495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴C ∧ (𝑐𝐵) ∈ C ) → 𝐴 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))
141, 12, 13sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐C𝐴 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))
15 sstr2 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑝𝐴 → (𝐴 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
1614, 15syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝𝐴 → (𝑐C𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
1710, 16syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞𝐴 → (𝑐C𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
1817impd 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞𝐴𝑐C ) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝𝑐 → (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞𝐴𝑐C ) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
2019com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑞𝐴𝑐C ) → (𝑞 = 𝑝 → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
2120adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞𝐴 ∧ (𝑐C𝐴𝑐)) → (𝑞 = 𝑝 → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
2221ad2ant2r 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑞𝐴𝑟𝐵) ∧ ((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝑞 = 𝑝 → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
2322adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝑞 = 𝑝 → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
2423com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 = 𝑝 → (((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) ∧ ((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms)) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
2524expd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = 𝑝 → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))))
269, 25pm2.61d2 172 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))))
2726rexlimivv 3065 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
2827com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → (∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
2928imim2d 57 . . . . . . . . . . 11 (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → (𝑝𝑐𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))))
3029com34 91 . . . . . . . . . 10 (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝑝𝑐 → (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))))
3130imp4b 612 . . . . . . . . 9 ((((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) ∧ (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)))) → ((𝑝𝑐𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
327, 31syl5bir 233 . . . . . . . 8 ((((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) ∧ (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)))) → (𝑝 ⊆ (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
3332ex 449 . . . . . . 7 (((𝑐C𝐴𝑐) ∧ 𝑝 ∈ HAtoms) → ((𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝑝 ⊆ (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
3433ralimdva 2991 . . . . . 6 ((𝑐C𝐴𝑐) → (∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
352, 1chjcli 28444 . . . . . . . . 9 (𝐵 𝐴) ∈ C
36 chincl 28486 . . . . . . . . 9 ((𝑐C ∧ (𝐵 𝐴) ∈ C ) → (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ∈ C )
3735, 36mpan2 707 . . . . . . . 8 (𝑐C → (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ∈ C )
38 chjcl 28344 . . . . . . . . 9 (((𝑐𝐵) ∈ C𝐴C ) → ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) ∈ C )
3912, 1, 38sylancl 695 . . . . . . . 8 (𝑐C → ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) ∈ C )
40 chrelat3 29358 . . . . . . . 8 (((𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ∈ C ∧ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) ∈ C ) → ((𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
4137, 39, 40syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝑐C → ((𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
4241adantr 480 . . . . . 6 ((𝑐C𝐴𝑐) → ((𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) → 𝑝 ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
4334, 42sylibrd 249 . . . . 5 ((𝑐C𝐴𝑐) → (∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
4443ex 449 . . . 4 (𝑐C → (𝐴𝑐 → (∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
4544com3r 87 . . 3 (∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝑐C → (𝐴𝑐 → (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
4645ralrimiv 2994 . 2 (∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ∀𝑐C (𝐴𝑐 → (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
47 dmdbr2 29290 . . 3 ((𝐵C𝐴C ) → (𝐵 𝑀* 𝐴 ↔ ∀𝑐C (𝐴𝑐 → (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴))))
482, 1, 47mp2an 708 . 2 (𝐵 𝑀* 𝐴 ↔ ∀𝑐C (𝐴𝑐 → (𝑐 ∩ (𝐵 𝐴)) ⊆ ((𝑐𝐵) ∨ 𝐴)))
4946, 48sylibr 224 1 (∀𝑝 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝐴 𝐵) → ∃𝑞 ∈ HAtoms ∃𝑟 ∈ HAtoms (𝑝 ⊆ (𝑞 𝑟) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → 𝐵 𝑀* 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690   Cℋ cch 27914   ∨ℋ chj 27918  HAtomscat 27950   𝑀ℋ* cdmd 27952 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070  ax-hcompl 28187 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-lm 21081  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cfil 23099  df-cau 23100  df-cmet 23101  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ims 27584  df-dip 27684  df-ssp 27705  df-ph 27796  df-cbn 27847  df-hnorm 27953  df-hba 27954  df-hvsub 27956  df-hlim 27957  df-hcau 27958  df-sh 28192  df-ch 28206  df-oc 28237  df-ch0 28238  df-shs 28295  df-span 28296  df-chj 28297  df-chsup 28298  df-pjh 28382  df-cv 29266  df-dmd 29268  df-at 29325 This theorem is referenced by:  mdsymlem7  29396
 Copyright terms: Public domain W3C validator