Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdsl2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdsl2i 29461
 Description: If the modular pair property holds in a sublattice, it holds in the whole lattice. Lemma 1.4 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 28-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsl.1 𝐴C
mdsl.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
mdsl2i (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem mdsl2i
StepHypRef Expression
1 mdsl.2 . . . . . . . . . . 11 𝐵C
2 mdsl.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴C
31, 2chub2i 28609 . . . . . . . . . 10 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)
4 sstr 3740 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))
53, 4mpan2 709 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))
65pm4.71ri 668 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 ↔ (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥𝐵))
76anbi2i 732 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥𝐵)))
8 anass 684 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑥𝐵)))
97, 8bitr4i 267 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) ↔ (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐵))
109imbi1i 338 . . . . 5 ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))))
11 chub1 28646 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥C𝐴C ) → 𝑥 ⊆ (𝑥 𝐴))
122, 11mpan2 709 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C𝑥 ⊆ (𝑥 𝐴))
13 iba 525 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐵 → (𝑥 ⊆ (𝑥 𝐴) ↔ (𝑥 ⊆ (𝑥 𝐴) ∧ 𝑥𝐵)))
14 ssin 3966 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ⊆ (𝑥 𝐴) ∧ 𝑥𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
1513, 14syl6bb 276 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐵 → (𝑥 ⊆ (𝑥 𝐴) ↔ 𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
1612, 15syl5ibcom 235 . . . . . . . . . 10 (𝑥C → (𝑥𝐵𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
17 chub2 28647 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴C𝑥C ) → 𝐴 ⊆ (𝑥 𝐴))
182, 17mpan 708 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C𝐴 ⊆ (𝑥 𝐴))
19 ssrin 3969 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ (𝑥 𝐴) → (𝐴𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥C → (𝐴𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))
2116, 20jctird 568 . . . . . . . . 9 (𝑥C → (𝑥𝐵 → (𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵))))
22 chjcl 28496 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥C𝐴C ) → (𝑥 𝐴) ∈ C )
232, 22mpan2 709 . . . . . . . . . . 11 (𝑥C → (𝑥 𝐴) ∈ C )
24 chincl 28638 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 𝐴) ∈ C𝐵C ) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C )
251, 24mpan2 709 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 𝐴) ∈ C → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C )
2623, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥C → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C )
272, 1chincli 28599 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵) ∈ C
28 chlub 28648 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥C ∧ (𝐴𝐵) ∈ C ∧ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C ) → ((𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)) ↔ (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
2927, 28mp3an2 1549 . . . . . . . . . 10 ((𝑥C ∧ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∈ C ) → ((𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)) ↔ (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
3026, 29mpdan 705 . . . . . . . . 9 (𝑥C → ((𝑥 ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)) ↔ (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
3121, 30sylibd 229 . . . . . . . 8 (𝑥C → (𝑥𝐵 → (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
32 eqss 3747 . . . . . . . . 9 (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)) ↔ (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵)))
3332rbaib 985 . . . . . . . 8 ((𝑥 (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)) ↔ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))))
3431, 33syl6 35 . . . . . . 7 (𝑥C → (𝑥𝐵 → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)) ↔ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)))))
3534adantld 484 . . . . . 6 (𝑥C → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)) ↔ ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)))))
3635pm5.74d 262 . . . . 5 (𝑥C → ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵)))))
3710, 36syl5rbbr 275 . . . 4 (𝑥C → ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
38 impexp 461 . . . 4 (((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
3937, 38syl6bb 276 . . 3 (𝑥C → ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))))))
4039ralbiia 3105 . 2 (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ ∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
412, 1mdsl1i 29460 . 2 (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) ↔ 𝐴 𝑀 𝐵)
4240, 41bitr2i 265 1 (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐵) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) ⊆ (𝑥 (𝐴𝐵))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1620   ∈ wcel 2127  ∀wral 3038   ∩ cin 3702   ⊆ wss 3703   class class class wbr 4792  (class class class)co 6801   Cℋ cch 28066   ∨ℋ chj 28070   𝑀ℋ cmd 28103 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cc 9420  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177  ax-addf 10178  ax-mulf 10179  ax-hilex 28136  ax-hfvadd 28137  ax-hvcom 28138  ax-hvass 28139  ax-hv0cl 28140  ax-hvaddid 28141  ax-hfvmul 28142  ax-hvmulid 28143  ax-hvmulass 28144  ax-hvdistr1 28145  ax-hvdistr2 28146  ax-hvmul0 28147  ax-hfi 28216  ax-his1 28219  ax-his2 28220  ax-his3 28221  ax-his4 28222  ax-hcompl 28339 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-fi 8470  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-acn 8929  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-xneg 12110  df-xadd 12111  df-xmul 12112  df-ioo 12343  df-ico 12345  df-icc 12346  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-seq 12967  df-exp 13026  df-hash 13283  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-clim 14389  df-rlim 14390  df-sum 14587  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-starv 16129  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-ip 16132  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-unif 16138  df-hom 16139  df-cco 16140  df-rest 16256  df-topn 16257  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-topgen 16277  df-pt 16278  df-prds 16281  df-xrs 16335  df-qtop 16340  df-imas 16341  df-xps 16343  df-mre 16419  df-mrc 16420  df-acs 16422  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-submnd 17508  df-mulg 17713  df-cntz 17921  df-cmn 18366  df-psmet 19911  df-xmet 19912  df-met 19913  df-bl 19914  df-mopn 19915  df-fbas 19916  df-fg 19917  df-cnfld 19920  df-top 20872  df-topon 20889  df-topsp 20910  df-bases 20923  df-cld 20996  df-ntr 20997  df-cls 20998  df-nei 21075  df-cn 21204  df-cnp 21205  df-lm 21206  df-haus 21292  df-tx 21538  df-hmeo 21731  df-fil 21822  df-fm 21914  df-flim 21915  df-flf 21916  df-xms 22297  df-ms 22298  df-tms 22299  df-cfil 23224  df-cau 23225  df-cmet 23226  df-grpo 27627  df-gid 27628  df-ginv 27629  df-gdiv 27630  df-ablo 27679  df-vc 27694  df-nv 27727  df-va 27730  df-ba 27731  df-sm 27732  df-0v 27733  df-vs 27734  df-nmcv 27735  df-ims 27736  df-dip 27836  df-ssp 27857  df-ph 27948  df-cbn 27999  df-hnorm 28105  df-hba 28106  df-hvsub 28108  df-hlim 28109  df-hcau 28110  df-sh 28344  df-ch 28358  df-oc 28389  df-ch0 28390  df-shs 28447  df-chj 28449  df-md 29419 This theorem is referenced by:  mdsl2bi  29462  mdslmd1i  29468
 Copyright terms: Public domain W3C validator