Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdsl1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdsl1i 29520
 Description: If the modular pair property holds in a sublattice, it holds in the whole lattice. Lemma 1.4 of [MaedaMaeda] p. 2. (Contributed by NM, 27-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsl.1 𝐴C
mdsl.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
mdsl1i (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) ↔ 𝐴 𝑀 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem mdsl1i
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq2 3776 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵))))
2 sseq1 3775 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵)))
31, 2anbi12d 616 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))))
4 sseq1 3775 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → (𝑥𝐵 ↔ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵))
5 oveq1 6800 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → (𝑥 𝐴) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴))
65ineq1d 3964 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵))
7 oveq1 6800 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → (𝑥 (𝐴𝐵)) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)))
86, 7eqeq12d 2786 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → (((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)) ↔ (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))))
94, 8imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → ((𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))) ↔ ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)))))
103, 9imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 (𝐴𝐵)) → ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) ↔ (((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))))))
1110rspccv 3457 . . . . 5 (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C → (((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))))))
12 impexp 437 . . . . . . 7 (((((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵) → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))) ↔ (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)))))
13 impexp 437 . . . . . . 7 ((((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)))) ↔ ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C → (((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))))))
1412, 13bitr2i 265 . . . . . 6 (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C → (((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))))) ↔ ((((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵) → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))))
15 inss2 3982 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
16 mdsl.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴C
17 mdsl.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵C
1816, 17chincli 28659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝐵) ∈ C
19 chlub 28708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦C ∧ (𝐴𝐵) ∈ C𝐵C ) → ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵) ↔ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵))
2018, 17, 19mp3an23 1564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦C → ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵) ↔ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵))
2120biimpd 219 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦C → ((𝑦𝐵 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵) → (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵))
2215, 21mpan2i 677 . . . . . . . . . . 11 (𝑦C → (𝑦𝐵 → (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵))
2317, 16chub2i 28669 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)
24 sstr 3760 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))
2523, 24mpan2 671 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))
2622, 25syl6 35 . . . . . . . . . 10 (𝑦C → (𝑦𝐵 → (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵)))
27 chub2 28707 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵) ∈ C𝑦C ) → (𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)))
2818, 27mpan 670 . . . . . . . . . 10 (𝑦C → (𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)))
2926, 28jctild 515 . . . . . . . . 9 (𝑦C → (𝑦𝐵 → ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))))
30 chjcl 28556 . . . . . . . . . 10 ((𝑦C ∧ (𝐴𝐵) ∈ C ) → (𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C )
3118, 30mpan2 671 . . . . . . . . 9 (𝑦C → (𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C )
3229, 31jctild 515 . . . . . . . 8 (𝑦C → (𝑦𝐵 → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵)))))
3332, 22jcad 502 . . . . . . 7 (𝑦C → (𝑦𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵)))
34 chjass 28732 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦C ∧ (𝐴𝐵) ∈ C𝐴C ) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) = (𝑦 ((𝐴𝐵) ∨ 𝐴)))
3518, 16, 34mp3an23 1564 . . . . . . . . . . 11 (𝑦C → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) = (𝑦 ((𝐴𝐵) ∨ 𝐴)))
3618, 16chjcomi 28667 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐵) ∨ 𝐴) = (𝐴 (𝐴𝐵))
3716, 17chabs1i 28717 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 (𝐴𝐵)) = 𝐴
3836, 37eqtri 2793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐵) ∨ 𝐴) = 𝐴
3938oveq2i 6804 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ((𝐴𝐵) ∨ 𝐴)) = (𝑦 𝐴)
4035, 39syl6eq 2821 . . . . . . . . . 10 (𝑦C → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) = (𝑦 𝐴))
4140ineq1d 3964 . . . . . . . . 9 (𝑦C → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵))
42 chjass 28732 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦C ∧ (𝐴𝐵) ∈ C ∧ (𝐴𝐵) ∈ C ) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)) = (𝑦 ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐵))))
4318, 18, 42mp3an23 1564 . . . . . . . . . 10 (𝑦C → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)) = (𝑦 ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐵))))
4418chjidmi 28720 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐵)) = (𝐴𝐵)
4544oveq2i 6804 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐵))) = (𝑦 (𝐴𝐵))
4643, 45syl6eq 2821 . . . . . . . . 9 (𝑦C → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)) = (𝑦 (𝐴𝐵)))
4741, 46eqeq12d 2786 . . . . . . . 8 (𝑦C → ((((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)) ↔ ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵))))
4847biimpd 219 . . . . . . 7 (𝑦C → ((((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵)) → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵))))
4933, 48imim12d 81 . . . . . 6 (𝑦C → (((((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵) → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))) → (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵)))))
5014, 49syl5bi 232 . . . . 5 (𝑦C → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∈ C → (((𝐴𝐵) ⊆ (𝑦 (𝐴𝐵)) ∧ (𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝑦 (𝐴𝐵)) ⊆ 𝐵 → (((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ 𝐴) ∩ 𝐵) = ((𝑦 (𝐴𝐵)) ∨ (𝐴𝐵))))) → (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵)))))
5111, 50syl5com 31 . . . 4 (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) → (𝑦C → (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵)))))
5251ralrimiv 3114 . . 3 (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) → ∀𝑦C (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵))))
53 mdbr 29493 . . . 4 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑦C (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵)))))
5416, 17, 53mp2an 672 . . 3 (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑦C (𝑦𝐵 → ((𝑦 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑦 (𝐴𝐵))))
5552, 54sylibr 224 . 2 (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) → 𝐴 𝑀 𝐵)
56 mdbr 29493 . . . 4 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
5716, 17, 56mp2an 672 . . 3 (𝐴 𝑀 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))))
58 ax-1 6 . . . 4 ((𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))) → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
5958ralimi 3101 . . 3 (∀𝑥C (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵))) → ∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
6057, 59sylbi 207 . 2 (𝐴 𝑀 𝐵 → ∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))))
6155, 60impbii 199 1 (∀𝑥C (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) → (𝑥𝐵 → ((𝑥 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑥 (𝐴𝐵)))) ↔ 𝐴 𝑀 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061   ∩ cin 3722   ⊆ wss 3723   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793   Cℋ cch 28126   ∨ℋ chj 28130   𝑀ℋ cmd 28163 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cc 9459  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218  ax-hilex 28196  ax-hfvadd 28197  ax-hvcom 28198  ax-hvass 28199  ax-hv0cl 28200  ax-hvaddid 28201  ax-hfvmul 28202  ax-hvmulid 28203  ax-hvmulass 28204  ax-hvdistr1 28205  ax-hvdistr2 28206  ax-hvmul0 28207  ax-hfi 28276  ax-his1 28279  ax-his2 28280  ax-his3 28281  ax-his4 28282  ax-hcompl 28399 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-lm 21254  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cfil 23272  df-cau 23273  df-cmet 23274  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-gdiv 27690  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-vs 27794  df-nmcv 27795  df-ims 27796  df-dip 27896  df-ssp 27917  df-ph 28008  df-cbn 28059  df-hnorm 28165  df-hba 28166  df-hvsub 28168  df-hlim 28169  df-hcau 28170  df-sh 28404  df-ch 28418  df-oc 28449  df-ch0 28450  df-shs 28507  df-chj 28509  df-md 29479 This theorem is referenced by:  mdsl2i  29521  cvmdi  29523
 Copyright terms: Public domain W3C validator