MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetunilem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetunilem6 20625
Description: Lemma for mdetuni 20630. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g 0 = (0g𝑅)
mdetuni.1r 1 = (1r𝑅)
mdetuni.pg + = (+g𝑅)
mdetuni.tg · = (.r𝑅)
mdetuni.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
mdetuni.al (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
mdetuni.li (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
mdetuni.sc (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘𝑓 · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
mdetunilem6.ph (𝜓𝜑)
mdetunilem6.ef (𝜓 → (𝐸𝑁𝐹𝑁𝐸𝐹))
mdetunilem6.gh ((𝜓𝑏𝑁) → (𝐺𝐾𝐻𝐾))
mdetunilem6.i ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐼𝐾)
Assertion
Ref Expression
mdetunilem6 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼)))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼))))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   + ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   0 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   1 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐻,𝑦,𝑧,𝑤   𝜓,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝐸,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏   𝐺,𝑎   𝐻,𝑎   𝑥,𝐼,𝑦,𝑧,𝑤
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   𝐺(𝑏)   𝐻(𝑏)   𝐼(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdetunilem6
StepHypRef Expression
1 mdetuni.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 mdetuni.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 mdetuni.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 mdetuni.0g . . . . 5 0 = (0g𝑅)
5 mdetuni.1r . . . . 5 1 = (1r𝑅)
6 mdetuni.pg . . . . 5 + = (+g𝑅)
7 mdetuni.tg . . . . 5 · = (.r𝑅)
8 mdetuni.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
9 mdetuni.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
10 mdetuni.ff . . . . 5 (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
11 mdetuni.al . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
12 mdetuni.li . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
13 mdetuni.sc . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘𝑓 · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
14 mdetunilem6.ph . . . . 5 (𝜓𝜑)
15 mdetunilem6.ef . . . . . 6 (𝜓 → (𝐸𝑁𝐹𝑁𝐸𝐹))
1615simp1d 1137 . . . . 5 (𝜓𝐸𝑁)
17 mdetunilem6.gh . . . . . . . 8 ((𝜓𝑏𝑁) → (𝐺𝐾𝐻𝐾))
1817simprd 482 . . . . . . 7 ((𝜓𝑏𝑁) → 𝐻𝐾)
19183adant2 1126 . . . . . 6 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐻𝐾)
2017simpld 477 . . . . . . 7 ((𝜓𝑏𝑁) → 𝐺𝐾)
21203adant2 1126 . . . . . 6 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐺𝐾)
22 ringgrp 18752 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2314, 9, 223syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜓𝑅 ∈ Grp)
2423adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜓𝑏𝑁) → 𝑅 ∈ Grp)
253, 6grpcl 17631 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐻𝐾𝐺𝐾) → (𝐻 + 𝐺) ∈ 𝐾)
2624, 18, 20, 25syl3anc 1477 . . . . . . . 8 ((𝜓𝑏𝑁) → (𝐻 + 𝐺) ∈ 𝐾)
27263adant2 1126 . . . . . . 7 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝐻 + 𝐺) ∈ 𝐾)
28 mdetunilem6.i . . . . . . 7 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐼𝐾)
2927, 28ifcld 4275 . . . . . 6 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼) ∈ 𝐾)
3019, 21, 293jca 1123 . . . . 5 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝐻𝐾𝐺𝐾 ∧ if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼) ∈ 𝐾))
311, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 30mdetunilem5 20624 . . . 4 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼)))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼)))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼))))))
321, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 26, 28mdetunilem2 20621 . . . 4 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼)))) = 0 )
3315simp2d 1138 . . . . . . . 8 (𝜓𝐹𝑁)
3419, 28ifcld 4275 . . . . . . . . 9 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼) ∈ 𝐾)
3519, 21, 343jca 1123 . . . . . . . 8 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝐻𝐾𝐺𝐾 ∧ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼) ∈ 𝐾))
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 33, 35mdetunilem5 20624 . . . . . . 7 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼))))))
3715simp3d 1139 . . . . . . . . . . 11 (𝜓𝐸𝐹)
3837necomd 2987 . . . . . . . . . 10 (𝜓𝐹𝐸)
3933, 16, 383jca 1123 . . . . . . . . 9 (𝜓 → (𝐹𝑁𝐸𝑁𝐹𝐸))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 39, 18, 28mdetunilem2 20621 . . . . . . . 8 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))) = 0 )
4140oveq1d 6828 . . . . . . 7 (𝜓 → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼))))) = ( 0 + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼))))))
4237neneqd 2937 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜓 → ¬ 𝐸 = 𝐹)
43 eqtr2 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = 𝐸𝑎 = 𝐹) → 𝐸 = 𝐹)
4442, 43nsyl 135 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜓 → ¬ (𝑎 = 𝐸𝑎 = 𝐹))
45443ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → ¬ (𝑎 = 𝐸𝑎 = 𝐹))
46 ifcomnan 4281 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑎 = 𝐸𝑎 = 𝐹) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼)) = if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼)) = if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))
4847mpt2eq3dva 6884 . . . . . . . . . 10 (𝜓 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼))))
4948fveq2d 6356 . . . . . . . . 9 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))))
5014, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜓𝐷:𝐵𝐾)
5114, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜓𝑁 ∈ Fin)
5221, 28ifcld 4275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼) ∈ 𝐾)
5319, 52ifcld 4275 . . . . . . . . . . 11 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼)) ∈ 𝐾)
541, 3, 2, 51, 23, 53matbas2d 20431 . . . . . . . . . 10 (𝜓 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼))) ∈ 𝐵)
5550, 54ffvelrnd 6523 . . . . . . . . 9 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼)))) ∈ 𝐾)
5649, 55eqeltrrd 2840 . . . . . . . 8 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))) ∈ 𝐾)
573, 6, 4grplid 17653 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))) ∈ 𝐾) → ( 0 + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼))))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))))
5823, 56, 57syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜓 → ( 0 + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼))))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))))
5936, 41, 583eqtrd 2798 . . . . . 6 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))))
60 ifcomnan 4281 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑎 = 𝐸𝑎 = 𝐹) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼)) = if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))
6145, 60syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼)) = if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))
6261mpt2eq3dva 6884 . . . . . . 7 (𝜓 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼))))
6362fveq2d 6356 . . . . . 6 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, 𝐼)))))
6459, 63, 493eqtr4d 2804 . . . . 5 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼)))))
6521, 28ifcld 4275 . . . . . . . . 9 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼) ∈ 𝐾)
6619, 21, 653jca 1123 . . . . . . . 8 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝐻𝐾𝐺𝐾 ∧ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼) ∈ 𝐾))
671, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 33, 66mdetunilem5 20624 . . . . . . 7 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼))))))
681, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 39, 20, 28mdetunilem2 20621 . . . . . . . 8 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))) = 0 )
6968oveq2d 6829 . . . . . . 7 (𝜓 → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼))))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))) + 0 ))
70 ifcomnan 4281 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑎 = 𝐸𝑎 = 𝐹) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼)) = if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))
7145, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼)) = if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))
7271mpt2eq3dva 6884 . . . . . . . . . 10 (𝜓 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼))))
7372fveq2d 6356 . . . . . . . . 9 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))))
7419, 28ifcld 4275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼) ∈ 𝐾)
7521, 74ifcld 4275 . . . . . . . . . . 11 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼)) ∈ 𝐾)
761, 3, 2, 51, 23, 75matbas2d 20431 . . . . . . . . . 10 (𝜓 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼))) ∈ 𝐵)
7750, 76ffvelrnd 6523 . . . . . . . . 9 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼)))) ∈ 𝐾)
7873, 77eqeltrrd 2840 . . . . . . . 8 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))) ∈ 𝐾)
793, 6, 4grprid 17654 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))) ∈ 𝐾) → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))) + 0 ) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))))
8023, 78, 79syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜓 → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))) + 0 ) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))))
8167, 69, 803eqtrd 2798 . . . . . 6 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))))
82 ifcomnan 4281 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑎 = 𝐸𝑎 = 𝐹) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼)) = if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))
8345, 82syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼)) = if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))
8483mpt2eq3dva 6884 . . . . . . 7 (𝜓 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼))))
8584fveq2d 6356 . . . . . 6 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐼)))))
8681, 85, 733eqtr4d 2804 . . . . 5 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼)))))
8764, 86oveq12d 6831 . . . 4 (𝜓 → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼)))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, (𝐻 + 𝐺), 𝐼))))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼)))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼))))))
8831, 32, 873eqtr3rd 2803 . . 3 (𝜓 → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼)))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼))))) = 0 )
89 eqid 2760 . . . . 5 (invg𝑅) = (invg𝑅)
903, 6, 4, 89grpinvid1 17671 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼)))) ∈ 𝐾 ∧ (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼)))) ∈ 𝐾) → (((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼))))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼)))) ↔ ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼)))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼))))) = 0 ))
9123, 55, 77, 90syl3anc 1477 . . 3 (𝜓 → (((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼))))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼)))) ↔ ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼)))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼))))) = 0 ))
9288, 91mpbird 247 . 2 (𝜓 → ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼))))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼)))))
9392eqcomd 2766 1 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, if(𝑎 = 𝐹, 𝐻, 𝐼)))) = ((invg𝑅)‘(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐻, if(𝑎 = 𝐹, 𝐺, 𝐼))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  cdif 3712  ifcif 4230  {csn 4321   × cxp 5264  cres 5268  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cmpt2 6815  𝑓 cof 7060  Fincfn 8121  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  .rcmulr 16144  0gc0g 16302  Grpcgrp 17623  invgcminusg 17624  1rcur 18701  Ringcrg 18747   Mat cmat 20415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-hom 16168  df-cco 16169  df-0g 16304  df-prds 16310  df-pws 16312  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-ring 18749  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-dsmm 20278  df-frlm 20293  df-mat 20416
This theorem is referenced by:  mdetunilem7  20626
  Copyright terms: Public domain W3C validator