MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetunilem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetunilem5 20470
Description: Lemma for mdetuni 20476. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g 0 = (0g𝑅)
mdetuni.1r 1 = (1r𝑅)
mdetuni.pg + = (+g𝑅)
mdetuni.tg · = (.r𝑅)
mdetuni.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
mdetuni.al (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
mdetuni.li (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
mdetuni.sc (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘𝑓 · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
mdetunilem5.ph (𝜓𝜑)
mdetunilem5.e (𝜓𝐸𝑁)
mdetunilem5.fgh ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝐹𝐾𝐺𝐾𝐻𝐾))
Assertion
Ref Expression
mdetunilem5 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   + ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   0 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   1 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐻,𝑦,𝑧,𝑤   𝜓,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝐸,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   𝐹(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐻(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdetunilem5
StepHypRef Expression
1 mdetunilem5.ph . 2 (𝜓𝜑)
2 mdetuni.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 mdetuni.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 mdetuni.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
5 mdetuni.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
61, 5syl 17 . . 3 (𝜓𝑁 ∈ Fin)
7 mdetuni.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
81, 7syl 17 . . 3 (𝜓𝑅 ∈ Ring)
983ad2ant1 1102 . . . . 5 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
10 mdetunilem5.fgh . . . . . 6 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝐹𝐾𝐺𝐾𝐻𝐾))
1110simp1d 1093 . . . . 5 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐹𝐾)
1210simp2d 1094 . . . . 5 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐺𝐾)
13 mdetuni.pg . . . . . 6 + = (+g𝑅)
143, 13ringacl 18624 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐾) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐾)
159, 11, 12, 14syl3anc 1366 . . . 4 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐾)
1610simp3d 1095 . . . 4 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐻𝐾)
1715, 16ifcld 4164 . . 3 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) ∈ 𝐾)
182, 3, 4, 6, 8, 17matbas2d 20277 . 2 (𝜓 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ∈ 𝐵)
1911, 16ifcld 4164 . . 3 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻) ∈ 𝐾)
202, 3, 4, 6, 8, 19matbas2d 20277 . 2 (𝜓 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∈ 𝐵)
2112, 16ifcld 4164 . . 3 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻) ∈ 𝐾)
222, 3, 4, 6, 8, 21matbas2d 20277 . 2 (𝜓 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ∈ 𝐵)
23 mdetunilem5.e . 2 (𝜓𝐸𝑁)
24 snex 4938 . . . . . . 7 {𝐸} ∈ V
2524a1i 11 . . . . . 6 (𝜓 → {𝐸} ∈ V)
2623snssd 4372 . . . . . . . . 9 (𝜓 → {𝐸} ⊆ 𝑁)
27263ad2ant1 1102 . . . . . . . 8 ((𝜓𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏𝑁) → {𝐸} ⊆ 𝑁)
28 simp2 1082 . . . . . . . 8 ((𝜓𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏𝑁) → 𝑎 ∈ {𝐸})
2927, 28sseldd 3637 . . . . . . 7 ((𝜓𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏𝑁) → 𝑎𝑁)
3029, 11syld3an2 1413 . . . . . 6 ((𝜓𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏𝑁) → 𝐹𝐾)
3129, 12syld3an2 1413 . . . . . 6 ((𝜓𝑎 ∈ {𝐸} ∧ 𝑏𝑁) → 𝐺𝐾)
32 eqidd 2652 . . . . . 6 (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐹) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐹))
33 eqidd 2652 . . . . . 6 (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐺) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐺))
3425, 6, 30, 31, 32, 33offval22 7298 . . . . 5 (𝜓 → ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐹) ∘𝑓 + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐺)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ (𝐹 + 𝐺)))
3534eqcomd 2657 . . . 4 (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ (𝐹 + 𝐺)) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐹) ∘𝑓 + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐺)))
36 mpt2snif 6796 . . . 4 (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ (𝐹 + 𝐺))
37 mpt2snif 6796 . . . . 5 (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐹)
38 mpt2snif 6796 . . . . 5 (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐺)
3937, 38oveq12i 6702 . . . 4 ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∘𝑓 + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐹) ∘𝑓 + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁𝐺))
4035, 36, 393eqtr4g 2710 . . 3 (𝜓 → (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∘𝑓 + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))))
41 ssid 3657 . . . 4 𝑁𝑁
42 resmpt2 6800 . . . 4 (({𝐸} ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)))
4326, 41, 42sylancl 695 . . 3 (𝜓 → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)))
44 resmpt2 6800 . . . . 5 (({𝐸} ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
4526, 41, 44sylancl 695 . . . 4 (𝜓 → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
46 resmpt2 6800 . . . . 5 (({𝐸} ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
4726, 41, 46sylancl 695 . . . 4 (𝜓 → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
4845, 47oveq12d 6708 . . 3 (𝜓 → (((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) ∘𝑓 + ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁))) = ((𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∘𝑓 + (𝑎 ∈ {𝐸}, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))))
4940, 43, 483eqtr4d 2695 . 2 (𝜓 → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) ∘𝑓 + ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁))))
50 eldifsni 4353 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) → 𝑎𝐸)
51503ad2ant2 1103 . . . . . 6 ((𝜓𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏𝑁) → 𝑎𝐸)
5251neneqd 2828 . . . . 5 ((𝜓𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏𝑁) → ¬ 𝑎 = 𝐸)
53 iffalse 4128 . . . . . 6 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = 𝐻)
54 iffalse 4128 . . . . . 6 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻) = 𝐻)
5553, 54eqtr4d 2688 . . . . 5 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))
5652, 55syl 17 . . . 4 ((𝜓𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))
5756mpt2eq3dva 6761 . . 3 (𝜓 → (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
58 difss 3770 . . . 4 (𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁
59 resmpt2 6800 . . . 4 (((𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)))
6058, 41, 59mp2an 708 . . 3 ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))
61 resmpt2 6800 . . . 4 (((𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)))
6258, 41, 61mp2an 708 . . 3 ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))
6357, 60, 623eqtr4g 2710 . 2 (𝜓 → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)))
64 iffalse 4128 . . . . . 6 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻) = 𝐻)
6553, 64eqtr4d 2688 . . . . 5 𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))
6652, 65syl 17 . . . 4 ((𝜓𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}) ∧ 𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻) = if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))
6766mpt2eq3dva 6761 . . 3 (𝜓 → (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
68 resmpt2 6800 . . . 4 (((𝑁 ∖ {𝐸}) ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))
6958, 41, 68mp2an 708 . . 3 ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = (𝑎 ∈ (𝑁 ∖ {𝐸}), 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻))
7067, 60, 693eqtr4g 2710 . 2 (𝜓 → ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)))
71 mdetuni.0g . . 3 0 = (0g𝑅)
72 mdetuni.1r . . 3 1 = (1r𝑅)
73 mdetuni.tg . . 3 · = (.r𝑅)
74 mdetuni.ff . . 3 (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
75 mdetuni.al . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
76 mdetuni.li . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
77 mdetuni.sc . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘𝑓 · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
782, 4, 3, 71, 72, 13, 73, 5, 7, 74, 75, 76, 77mdetunilem3 20468 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ∈ 𝐵) ∧ ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ∈ 𝐵𝐸𝑁 ∧ ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) = (((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)) ∘𝑓 + ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ({𝐸} × 𝑁)))) ∧ (((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) ∧ ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)) = ((𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐸}) × 𝑁)))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))))
791, 18, 20, 22, 23, 49, 63, 70, 78syl332anc 1397 1 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, (𝐹 + 𝐺), 𝐻))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, 𝐻))) + (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐺, 𝐻)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  ifcif 4119  {csn 4210   × cxp 5141  cres 5145  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  𝑓 cof 6937  Fincfn 7997  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989  0gc0g 16147  1rcur 18547  Ringcrg 18593   Mat cmat 20261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-ring 18595  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-dsmm 20124  df-frlm 20139  df-mat 20262
This theorem is referenced by:  mdetunilem6  20471
  Copyright terms: Public domain W3C validator