Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetunilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetunilem2 20637
 Description: Lemma for mdetuni 20646. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g 0 = (0g𝑅)
mdetuni.1r 1 = (1r𝑅)
mdetuni.pg + = (+g𝑅)
mdetuni.tg · = (.r𝑅)
mdetuni.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
mdetuni.al (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
mdetuni.li (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
mdetuni.sc (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘𝑓 · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
mdetunilem2.ph (𝜓𝜑)
mdetunilem2.eg (𝜓 → (𝐸𝑁𝐺𝑁𝐸𝐺))
mdetunilem2.f ((𝜓𝑏𝑁) → 𝐹𝐾)
mdetunilem2.h ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐻𝐾)
Assertion
Ref Expression
mdetunilem2 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))) = 0 )
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   + ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   0 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   1 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐻,𝑦,𝑧,𝑤   𝜓,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝐸,𝑎,𝑏   𝐺,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   𝐹(𝑏)   𝐻(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdetunilem2
StepHypRef Expression
1 mdetunilem2.ph . 2 (𝜓𝜑)
2 mdetuni.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 mdetuni.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 mdetuni.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
5 mdetuni.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
61, 5syl 17 . . 3 (𝜓𝑁 ∈ Fin)
7 mdetuni.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
81, 7syl 17 . . 3 (𝜓𝑅 ∈ Ring)
9 mdetunilem2.f . . . . 5 ((𝜓𝑏𝑁) → 𝐹𝐾)
1093adant2 1125 . . . 4 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐹𝐾)
11 mdetunilem2.h . . . . 5 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐻𝐾)
1210, 11ifcld 4270 . . . 4 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻) ∈ 𝐾)
1310, 12ifcld 4270 . . 3 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)) ∈ 𝐾)
142, 3, 4, 6, 8, 13matbas2d 20446 . 2 (𝜓 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻))) ∈ 𝐵)
15 eqidd 2772 . . . . 5 ((𝜓𝑤𝑁) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻))))
16 iftrue 4231 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)) = 𝐹)
17 csbeq1a 3691 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑤𝐹 = 𝑤 / 𝑏𝐹)
1816, 17sylan9eq 2825 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝐸𝑏 = 𝑤) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)) = 𝑤 / 𝑏𝐹)
1918adantl 467 . . . . 5 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ (𝑎 = 𝐸𝑏 = 𝑤)) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)) = 𝑤 / 𝑏𝐹)
20 eqidd 2772 . . . . 5 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ 𝑎 = 𝐸) → 𝑁 = 𝑁)
21 mdetunilem2.eg . . . . . . 7 (𝜓 → (𝐸𝑁𝐺𝑁𝐸𝐺))
2221simp1d 1136 . . . . . 6 (𝜓𝐸𝑁)
2322adantr 466 . . . . 5 ((𝜓𝑤𝑁) → 𝐸𝑁)
24 simpr 471 . . . . 5 ((𝜓𝑤𝑁) → 𝑤𝑁)
25 nfv 1995 . . . . . . 7 𝑏(𝜓𝑤𝑁)
26 nfcsb1v 3698 . . . . . . . 8 𝑏𝑤 / 𝑏𝐹
2726nfel1 2928 . . . . . . 7 𝑏𝑤 / 𝑏𝐹𝐾
2825, 27nfim 1977 . . . . . 6 𝑏((𝜓𝑤𝑁) → 𝑤 / 𝑏𝐹𝐾)
29 eleq1w 2833 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑤 → (𝑏𝑁𝑤𝑁))
3029anbi2d 614 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑤 → ((𝜓𝑏𝑁) ↔ (𝜓𝑤𝑁)))
3117eleq1d 2835 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑤 → (𝐹𝐾𝑤 / 𝑏𝐹𝐾))
3230, 31imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑤 → (((𝜓𝑏𝑁) → 𝐹𝐾) ↔ ((𝜓𝑤𝑁) → 𝑤 / 𝑏𝐹𝐾)))
3328, 32, 9chvar 2424 . . . . 5 ((𝜓𝑤𝑁) → 𝑤 / 𝑏𝐹𝐾)
34 nfv 1995 . . . . 5 𝑎(𝜓𝑤𝑁)
35 nfcv 2913 . . . . 5 𝑏𝐸
36 nfcv 2913 . . . . 5 𝑎𝑤
37 nfcv 2913 . . . . 5 𝑎𝑤 / 𝑏𝐹
3815, 19, 20, 23, 24, 33, 34, 25, 35, 36, 37, 26ovmpt2dxf 6933 . . . 4 ((𝜓𝑤𝑁) → (𝐸(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))𝑤) = 𝑤 / 𝑏𝐹)
3921simp3d 1138 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜓𝐸𝐺)
4039adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜓𝑤𝑁) → 𝐸𝐺)
41 neeq2 3006 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝐺 → (𝐸𝑎𝐸𝐺))
4240, 41syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . 11 ((𝜓𝑤𝑁) → (𝑎 = 𝐺𝐸𝑎))
4342imp 393 . . . . . . . . . 10 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ 𝑎 = 𝐺) → 𝐸𝑎)
4443necomd 2998 . . . . . . . . 9 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ 𝑎 = 𝐺) → 𝑎𝐸)
4544neneqd 2948 . . . . . . . 8 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ 𝑎 = 𝐺) → ¬ 𝑎 = 𝐸)
4645adantrr 696 . . . . . . 7 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ (𝑎 = 𝐺𝑏 = 𝑤)) → ¬ 𝑎 = 𝐸)
4746iffalsed 4236 . . . . . 6 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ (𝑎 = 𝐺𝑏 = 𝑤)) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)) = if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻))
48 iftrue 4231 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐺 → if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻) = 𝐹)
4948, 17sylan9eq 2825 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝐺𝑏 = 𝑤) → if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻) = 𝑤 / 𝑏𝐹)
5049adantl 467 . . . . . 6 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ (𝑎 = 𝐺𝑏 = 𝑤)) → if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻) = 𝑤 / 𝑏𝐹)
5147, 50eqtrd 2805 . . . . 5 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ (𝑎 = 𝐺𝑏 = 𝑤)) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)) = 𝑤 / 𝑏𝐹)
52 eqidd 2772 . . . . 5 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ 𝑎 = 𝐺) → 𝑁 = 𝑁)
5321simp2d 1137 . . . . . 6 (𝜓𝐺𝑁)
5453adantr 466 . . . . 5 ((𝜓𝑤𝑁) → 𝐺𝑁)
55 nfcv 2913 . . . . 5 𝑏𝐺
5615, 51, 52, 54, 24, 33, 34, 25, 55, 36, 37, 26ovmpt2dxf 6933 . . . 4 ((𝜓𝑤𝑁) → (𝐺(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))𝑤) = 𝑤 / 𝑏𝐹)
5738, 56eqtr4d 2808 . . 3 ((𝜓𝑤𝑁) → (𝐸(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))𝑤) = (𝐺(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))𝑤))
5857ralrimiva 3115 . 2 (𝜓 → ∀𝑤𝑁 (𝐸(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))𝑤) = (𝐺(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))𝑤))
59 mdetuni.0g . . 3 0 = (0g𝑅)
60 mdetuni.1r . . 3 1 = (1r𝑅)
61 mdetuni.pg . . 3 + = (+g𝑅)
62 mdetuni.tg . . 3 · = (.r𝑅)
63 mdetuni.ff . . 3 (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
64 mdetuni.al . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
65 mdetuni.li . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘𝑓 + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
66 mdetuni.sc . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘𝑓 · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
672, 4, 3, 59, 60, 61, 62, 5, 7, 63, 64, 65, 66mdetunilem1 20636 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻))) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝐸(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))𝑤) = (𝐺(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))𝑤)) ∧ (𝐸𝑁𝐺𝑁𝐸𝐺)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))) = 0 )
681, 14, 58, 21, 67syl31anc 1479 1 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))) = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∀wral 3061  ⦋csb 3682   ∖ cdif 3720  ifcif 4225  {csn 4316   × cxp 5247   ↾ cres 5251  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ↦ cmpt2 6795   ∘𝑓 cof 7042  Fincfn 8109  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  .rcmulr 16150  0gc0g 16308  1rcur 18709  Ringcrg 18755   Mat cmat 20430 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-ot 4325  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-prds 16316  df-pws 16318  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-dsmm 20293  df-frlm 20308  df-mat 20431 This theorem is referenced by:  mdetunilem6  20641  mdetunilem8  20643
 Copyright terms: Public domain W3C validator