MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetrsca2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetrsca2 20458
Description: The determinant function is homogeneous for each row (matrices are given explicitly by their entries). (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrsca2.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetrsca2.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetrsca2.t · = (.r𝑅)
mdetrsca2.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mdetrsca2.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetrsca2.x ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
mdetrsca2.y ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
mdetrsca2.f (𝜑𝐹𝐾)
mdetrsca2.i (𝜑𝐼𝑁)
Assertion
Ref Expression
mdetrsca2 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌))) = (𝐹 · (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐹,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   · ,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)   𝑌(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetrsca2
StepHypRef Expression
1 mdetrsca2.d . 2 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 eqid 2651 . 2 (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
3 eqid 2651 . 2 (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4 mdetrsca2.k . 2 𝐾 = (Base‘𝑅)
5 mdetrsca2.t . 2 · = (.r𝑅)
6 mdetrsca2.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
7 mdetrsca2.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
8 crngring 18604 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
96, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
1093ad2ant1 1102 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
11 mdetrsca2.f . . . . . 6 (𝜑𝐹𝐾)
12113ad2ant1 1102 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐹𝐾)
13 mdetrsca2.x . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
144, 5ringcl 18607 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝑋𝐾) → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝐾)
1510, 12, 13, 14syl3anc 1366 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝐾)
16 mdetrsca2.y . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
1715, 16ifcld 4164 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) ∈ 𝐾)
182, 4, 3, 7, 6, 17matbas2d 20277 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
1913, 16ifcld 4164 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌) ∈ 𝐾)
202, 4, 3, 7, 6, 19matbas2d 20277 . 2 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
21 mdetrsca2.i . 2 (𝜑𝐼𝑁)
22 snex 4938 . . . . . 6 {𝐼} ∈ V
2322a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝐼} ∈ V)
24113ad2ant1 1102 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → 𝐹𝐾)
2521snssd 4372 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐼} ⊆ 𝑁)
2625sselda 3636 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼}) → 𝑖𝑁)
27263adant3 1101 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
2827, 13syld3an2 1413 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ {𝐼} ∧ 𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
29 fconstmpt2 6797 . . . . . 6 (({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝐹)
3029a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝐹))
31 eqidd 2652 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋))
3223, 7, 24, 28, 30, 31offval22 7298 . . . 4 (𝜑 → ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘𝑓 · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ (𝐹 · 𝑋)))
33 mpt2snif 6796 . . . . 5 (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋)
3433oveq2i 6701 . . . 4 ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘𝑓 · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘𝑓 · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁𝑋))
35 mpt2snif 6796 . . . 4 (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ (𝐹 · 𝑋))
3632, 34, 353eqtr4g 2710 . . 3 (𝜑 → ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘𝑓 · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
37 ssid 3657 . . . . 5 𝑁𝑁
38 resmpt2 6800 . . . . 5 (({𝐼} ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
3925, 37, 38sylancl 695 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
4039oveq2d 6706 . . 3 (𝜑 → ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘𝑓 · ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁))) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘𝑓 · (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))))
41 resmpt2 6800 . . . 4 (({𝐼} ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
4225, 37, 41sylancl 695 . . 3 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = (𝑖 ∈ {𝐼}, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
4336, 40, 423eqtr4rd 2696 . 2 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝐹}) ∘𝑓 · ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
44 eldifsni 4353 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑖𝐼)
45443ad2ant2 1103 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝐼)
4645neneqd 2828 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗𝑁) → ¬ 𝑖 = 𝐼)
47 iffalse 4128 . . . . . 6 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) = 𝑌)
48 iffalse 4128 . . . . . 6 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌) = 𝑌)
4947, 48eqtr4d 2688 . . . . 5 𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))
5046, 49syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌) = if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))
5150mpt2eq3dva 6761 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
52 difss 3770 . . . 4 (𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁
53 resmpt2 6800 . . . 4 (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)))
5452, 37, 53mp2an 708 . . 3 ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌))
55 resmpt2 6800 . . . 4 (((𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁𝑁𝑁) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))
5652, 37, 55mp2an 708 . . 3 ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌))
5751, 54, 563eqtr4g 2710 . 2 (𝜑 → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
581, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 11, 20, 21, 43, 57mdetrsca 20457 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐹 · 𝑋), 𝑌))) = (𝐹 · (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, 𝑌)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  ifcif 4119  {csn 4210   × cxp 5141  cres 5145  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  𝑓 cof 6937  Fincfn 7997  Basecbs 15904  .rcmulr 15989  Ringcrg 18593  CRingccrg 18594   Mat cmat 20261   maDet cmdat 20438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-xor 1505  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-word 13331  df-lsw 13332  df-concat 13333  df-s1 13334  df-substr 13335  df-splice 13336  df-reverse 13337  df-s2 13639  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-gim 17748  df-cntz 17796  df-oppg 17822  df-symg 17844  df-pmtr 17908  df-psgn 17957  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-cnfld 19795  df-zring 19867  df-zrh 19900  df-dsmm 20124  df-frlm 20139  df-mat 20262  df-mdet 20439
This theorem is referenced by:  mdetr0  20459  mdetero  20464  madugsum  20497
  Copyright terms: Public domain W3C validator