Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetfval1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetfval1 20619
 Description: First substitution of an alternative determinant definition. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Sep-2015.) (Revised by AV, 27-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetfval1.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetfval1.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetfval1.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetfval1.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetfval1.y 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetfval1.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetfval1.t · = (.r𝑅)
mdetfval1.u 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
mdetfval1 𝐷 = (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)))))))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑝,𝐵   𝑥,𝑚,𝑁,𝑝   𝑃,𝑚,𝑝   𝑅,𝑚,𝑝,𝑥   𝑆,𝑚   𝑈,𝑚   𝑚,𝑌   · ,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑚,𝑝)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑝)   · (𝑥,𝑝)   𝑈(𝑥,𝑝)   𝑌(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem mdetfval1
StepHypRef Expression
1 mdetfval1.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 mdetfval1.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 mdetfval1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 mdetfval1.p . . . 4 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5 mdetfval1.y . . . 4 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
6 mdetfval1.s . . . 4 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
7 mdetfval1.t . . . 4 · = (.r𝑅)
8 mdetfval1.u . . . 4 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mdetfval 20615 . . 3 𝐷 = (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)))))))
104, 5, 6zrhcofipsgn 20162 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌𝑆)‘𝑝) = (𝑌‘(𝑆𝑝)))
1110oveq1d 6830 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝𝑃) → (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)))) = ((𝑌‘(𝑆𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)))))
1211mpteq2dva 4897 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))) = (𝑝𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))
1312oveq2d 6831 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)))))))
1413mpteq2dv 4898 . . 3 (𝑁 ∈ Fin → (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))) = (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))))
159, 14syl5eq 2807 . 2 (𝑁 ∈ Fin → 𝐷 = (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))))
16 df-nel 3037 . . 3 (𝑁 ∉ Fin ↔ ¬ 𝑁 ∈ Fin)
171nfimdetndef 20618 . . . 4 (𝑁 ∉ Fin → 𝐷 = ∅)
182fveq2i 6357 . . . . . . . 8 (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
193, 18eqtri 2783 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
2016biimpi 206 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∉ Fin → ¬ 𝑁 ∈ Fin)
2120intnanrd 1001 . . . . . . . 8 (𝑁 ∉ Fin → ¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
22 matbas0 20439 . . . . . . . 8 (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = ∅)
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∉ Fin → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = ∅)
2419, 23syl5eq 2807 . . . . . 6 (𝑁 ∉ Fin → 𝐵 = ∅)
2524mpteq1d 4891 . . . . 5 (𝑁 ∉ Fin → (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))) = (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))))
26 mpt0 6183 . . . . 5 (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))) = ∅
2725, 26syl6eq 2811 . . . 4 (𝑁 ∉ Fin → (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))) = ∅)
2817, 27eqtr4d 2798 . . 3 (𝑁 ∉ Fin → 𝐷 = (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))))
2916, 28sylbir 225 . 2 𝑁 ∈ Fin → 𝐷 = (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))))
3015, 29pm2.61i 176 1 𝐷 = (𝑚𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ∉ wnel 3036  Vcvv 3341  ∅c0 4059   ↦ cmpt 4882   ∘ ccom 5271  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  Fincfn 8124  Basecbs 16080  .rcmulr 16165   Σg cgsu 16324  SymGrpcsymg 18018  pmSgncpsgn 18130  mulGrpcmgp 18710  ℤRHomczrh 20071   Mat cmat 20436   maDet cmdat 20613 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-hash 13333  df-word 13506  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-plusg 16177  df-tset 16183  df-symg 18019  df-psgn 18132  df-mat 20437  df-mdet 20614 This theorem is referenced by:  mdetleib1  20620
 Copyright terms: Public domain W3C validator