Theorem mdetfval1 20619

Description: First substitution of an alternative determinant definition. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Sep-2015.) (Revised by AV, 27-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetfval1.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetfval1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetfval1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetfval1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetfval1.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetfval1.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetfval1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetfval1.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mdetfval1	⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑝,𝐵   𝑥,𝑚,𝑁,𝑝   𝑃,𝑚,𝑝   𝑅,𝑚,𝑝,𝑥   𝑆,𝑚   𝑈,𝑚   𝑚,𝑌   · ,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑚,𝑝)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑝)   · (𝑥,𝑝)   𝑈(𝑥,𝑝)   𝑌(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem mdetfval1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetfval1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2		mdetfval1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		mdetfval1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		mdetfval1.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5		mdetfval1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
6		mdetfval1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
7		mdetfval1.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		mdetfval1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mdetfval 20615	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))
10	4, 5, 6	zrhcofipsgn 20162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) = (𝑌‘(𝑆‘𝑝)))
11	10	oveq1d 6830	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))) = ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))
12	11	mpteq2dva 4897	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))
13	12	oveq2d 6831	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))
14	13	mpteq2dv 4898	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
15	9, 14	syl5eq 2807	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
16		df-nel 3037	. . 3 ⊢ (𝑁 ∉ Fin ↔ ¬ 𝑁 ∈ Fin)
17	1	nfimdetndef 20618	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → 𝐷 = ∅)
18	2	fveq2i 6357	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
19	3, 18	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
20	16	biimpi 206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → ¬ 𝑁 ∈ Fin)
21	20	intnanrd 1001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → ¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
22		matbas0 20439	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = ∅)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = ∅)
24	19, 23	syl5eq 2807	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → 𝐵 = ∅)
25	24	mpteq1d 4891	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
26		mpt0 6183	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = ∅
27	25, 26	syl6eq 2811	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = ∅)
28	17, 27	eqtr4d 2798	. . 3 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
29	16, 28	sylbir 225	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ Fin → 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
30	15, 29	pm2.61i 176	1 ⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ∉ wnel 3036  Vcvv 3341  ∅c0 4059   ↦ cmpt 4882   ∘ ccom 5271  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  Fincfn 8124  Basecbs 16080  ._rcmulr 16165   Σ_g cgsu 16324  SymGrpcsymg 18018  pmSgncpsgn 18130  mulGrpcmgp 18710  ℤRHomczrh 20071   Mat cmat 20436   maDet cmdat 20613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-hash 13333  df-word 13506  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-plusg 16177  df-tset 16183  df-symg 18019  df-psgn 18132  df-mat 20437  df-mdet 20614

This theorem is referenced by:  mdetleib1  20620