Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegmullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegmullem 23883
 Description: Lemma for mdegmulle2 23884. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegmulle2.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegmulle2.t · = (.r𝑌)
mdegmulle2.f (𝜑𝐹𝐵)
mdegmulle2.g (𝜑𝐺𝐵)
mdegmulle2.j1 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
mdegmulle2.k1 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
mdegmulle2.j2 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐽)
mdegmulle2.k2 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐾)
mdegmullem.a 𝐴 = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegmullem.h 𝐻 = (𝑏𝐴 ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
Assertion
Ref Expression
mdegmullem (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾))
Distinct variable groups:   𝐼,𝑎,𝑏   𝑅,𝑏   𝑉,𝑏   𝐴,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎)   · (𝑎,𝑏)   𝐹(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐻(𝑎,𝑏)   𝐽(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝑉(𝑎)   𝑌(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdegmullem
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑥 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . 8 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mdegmulle2.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 eqid 2651 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 mdegmulle2.t . . . . . . . 8 · = (.r𝑌)
5 mdegmullem.a . . . . . . . 8 𝐴 = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
6 mdegmulle2.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝐵)
7 mdegmulle2.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mplmul 19491 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑)))))))
98fveq1d 6231 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑))))))‘𝑥))
109adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑))))))‘𝑥))
11 breq2 4689 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑥 → (𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑥))
1211rabbidv 3220 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} = {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥})
13 oveq1 6697 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑥 → (𝑐𝑓𝑑) = (𝑥𝑓𝑑))
1413fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑥 → (𝐺‘(𝑐𝑓𝑑)) = (𝐺‘(𝑥𝑓𝑑)))
1514oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑))) = ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))))
1612, 15mpteq12dv 4766 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑥 → (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑)))) = (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑)))))
1716oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑥 → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑))))) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))))))
18 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑)))))) = (𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑))))))
19 ovex 6718 . . . . . . 7 (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))))) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 6321 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑))))))‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))))))
2120ad2antrl 764 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → ((𝑐𝐴 ↦ (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑐} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑐𝑓𝑑))))))‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))))))
22 mdegaddle.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
23 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑅) = (0g𝑅)
24 mdegmullem.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑏𝐴 ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
256ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → 𝐹𝐵)
26 elrabi 3391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} → 𝑑𝐴)
2726adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝑑𝐴)
2827adantrr 753 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → 𝑑𝐴)
2922, 1, 2mdegxrcl 23872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
306, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
3130ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
32 nn0ssre 11334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ⊆ ℝ
33 ressxr 10121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℝ ⊆ ℝ*
3432, 33sstri 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ⊆ ℝ*
35 mdegmulle2.j1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
3634, 35sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐽 ∈ ℝ*)
3736ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐽 ∈ ℝ*)
38 mdegaddle.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐼𝑉)
395, 24tdeglem1 23863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼𝑉𝐻:𝐴⟶ℕ0)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐻:𝐴⟶ℕ0)
4140ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
4241, 27ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻𝑑) ∈ ℕ0)
4334, 42sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻𝑑) ∈ ℝ*)
4431, 37, 433jca 1261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((𝐷𝐹) ∈ ℝ*𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻𝑑) ∈ ℝ*))
4544adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐷𝐹) ∈ ℝ*𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻𝑑) ∈ ℝ*))
46 mdegmulle2.j2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐽)
4746ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐷𝐹) ≤ 𝐽)
4847anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑)) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐽𝐽 < (𝐻𝑑)))
4948anasss 680 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐽𝐽 < (𝐻𝑑)))
50 xrlelttr 12025 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷𝐹) ∈ ℝ*𝐽 ∈ ℝ* ∧ (𝐻𝑑) ∈ ℝ*) → (((𝐷𝐹) ≤ 𝐽𝐽 < (𝐻𝑑)) → (𝐷𝐹) < (𝐻𝑑)))
5145, 49, 50sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → (𝐷𝐹) < (𝐻𝑑))
5222, 1, 2, 23, 5, 24, 25, 28, 51mdeglt 23870 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → (𝐹𝑑) = (0g𝑅))
5352oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))))
54 mdegaddle.r . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5554ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
56 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
571, 56, 2, 5, 7mplelf 19481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺:𝐴⟶(Base‘𝑅))
5857ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐺:𝐴⟶(Base‘𝑅))
59 ssrab2 3720 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ⊆ 𝐴
6038ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐼𝑉)
61 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝑥𝐴)
62 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥})
63 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} = {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}
645, 63psrbagconcl 19421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉𝑥𝐴𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑑) ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥})
6560, 61, 62, 64syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑑) ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥})
6659, 65sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑑) ∈ 𝐴)
6758, 66ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐺‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ (Base‘𝑅))
6856, 3, 23ringlz 18633 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = (0g𝑅))
6955, 67, 68syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = (0g𝑅))
7069adantrr 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = (0g𝑅))
7153, 70eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = (0g𝑅))
7271anassrs 681 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) ∧ 𝐽 < (𝐻𝑑)) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = (0g𝑅))
737ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → 𝐺𝐵)
7466adantrr 753 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → (𝑥𝑓𝑑) ∈ 𝐴)
7522, 1, 2mdegxrcl 23872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
767, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
7776ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
78 mdegmulle2.k1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
7934, 78sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 ∈ ℝ*)
8079ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐾 ∈ ℝ*)
8141, 66ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ ℕ0)
8234, 81sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ ℝ*)
8377, 80, 823jca 1261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((𝐷𝐺) ∈ ℝ*𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ ℝ*))
8483adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → ((𝐷𝐺) ∈ ℝ*𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ ℝ*))
85 mdegmulle2.k2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐾)
8685ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐷𝐺) ≤ 𝐾)
8786anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) → ((𝐷𝐺) ≤ 𝐾𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))))
8887anasss 680 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → ((𝐷𝐺) ≤ 𝐾𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))))
89 xrlelttr 12025 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷𝐺) ∈ ℝ*𝐾 ∈ ℝ* ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ ℝ*) → (((𝐷𝐺) ≤ 𝐾𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) → (𝐷𝐺) < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))))
9084, 88, 89sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → (𝐷𝐺) < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))
9122, 1, 2, 23, 5, 24, 73, 74, 90mdeglt 23870 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → (𝐺‘(𝑥𝑓𝑑)) = (0g𝑅))
9291oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)))
931, 56, 2, 5, 6mplelf 19481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
9493ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
9594, 27ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐹𝑑) ∈ (Base‘𝑅))
9656, 3, 23ringrz 18634 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹𝑑) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
9755, 95, 96syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
9897adantrr 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
9992, 98eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = (0g𝑅))
10099anassrs 681 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) ∧ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = (0g𝑅))
101 simplrr 818 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))
10242nn0red 11390 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻𝑑) ∈ ℝ)
10381nn0red 11390 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ ℝ)
10435ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐽 ∈ ℕ0)
105104nn0red 11390 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐽 ∈ ℝ)
10678ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐾 ∈ ℕ0)
107106nn0red 11390 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → 𝐾 ∈ ℝ)
108 le2add 10548 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐻𝑑) ∈ ℝ ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ∈ ℝ) ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ≤ 𝐾) → ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
109102, 103, 105, 107, 108syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ≤ 𝐾) → ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
1105, 24tdeglem3 23864 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑉𝑑𝐴 ∧ (𝑥𝑓𝑑) ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑑𝑓 + (𝑥𝑓𝑑))) = ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))))
11160, 27, 66, 110syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻‘(𝑑𝑓 + (𝑥𝑓𝑑))) = ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))))
1125psrbagf 19413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼𝑉𝑑𝐴) → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
1131123adant3 1101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑑:𝐼⟶ℕ0)
114113ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑑𝑏) ∈ ℕ0)
115114nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑑𝑏) ∈ ℂ)
1165psrbagf 19413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼𝑉𝑥𝐴) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
1171163adant2 1100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
118117ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑥𝑏) ∈ ℕ0)
119118nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑥𝑏) ∈ ℂ)
120115, 119pncan3d 10433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑑𝑏) + ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏))) = (𝑥𝑏))
121120mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑏𝐼 ↦ ((𝑑𝑏) + ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏)))) = (𝑏𝐼 ↦ (𝑥𝑏)))
122 simp1 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝐼𝑉)
123 fvexd 6241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑑𝑏) ∈ V)
124 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏)) ∈ V)
125113feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑑 = (𝑏𝐼 ↦ (𝑑𝑏)))
126 fvexd 6241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑥𝑏) ∈ V)
127117feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → 𝑥 = (𝑏𝐼 ↦ (𝑥𝑏)))
128122, 126, 123, 127, 125offval2 6956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑥𝑓𝑑) = (𝑏𝐼 ↦ ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏))))
129122, 123, 124, 125, 128offval2 6956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑑𝑓 + (𝑥𝑓𝑑)) = (𝑏𝐼 ↦ ((𝑑𝑏) + ((𝑥𝑏) − (𝑑𝑏)))))
130121, 129, 1273eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉𝑑𝐴𝑥𝐴) → (𝑑𝑓 + (𝑥𝑓𝑑)) = 𝑥)
13160, 27, 61, 130syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝑑𝑓 + (𝑥𝑓𝑑)) = 𝑥)
132131fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻‘(𝑑𝑓 + (𝑥𝑓𝑑))) = (𝐻𝑥))
133111, 132eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) = (𝐻𝑥))
134133breq1d 4695 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (((𝐻𝑑) + (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ (𝐻𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
135109, 134sylibd 229 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ≤ 𝐾) → (𝐻𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
136102, 105lenltd 10221 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ↔ ¬ 𝐽 < (𝐻𝑑)))
137103, 107lenltd 10221 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))))
138136, 137anbi12d 747 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ≤ 𝐾) ↔ (¬ 𝐽 < (𝐻𝑑) ∧ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))))
139 ioran 510 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) ↔ (¬ 𝐽 < (𝐻𝑑) ∧ ¬ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))))
140138, 139syl6bbr 278 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (((𝐻𝑑) ≤ 𝐽 ∧ (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)) ≤ 𝐾) ↔ ¬ (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑)))))
14141, 61ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻𝑥) ∈ ℕ0)
142141nn0red 11390 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐻𝑥) ∈ ℝ)
14335, 78nn0addcld 11393 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℕ0)
144143ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℕ0)
145144nn0red 11390 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ)
146142, 145lenltd 10221 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((𝐻𝑥) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ¬ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥)))
147135, 140, 1463imtr3d 282 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (¬ (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))) → ¬ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥)))
148101, 147mt4d 152 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → (𝐽 < (𝐻𝑑) ∨ 𝐾 < (𝐻‘(𝑥𝑓𝑑))))
14972, 100, 148mpjaodan 844 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥}) → ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))) = (0g𝑅))
150149mpteq2dva 4777 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑)))) = (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ (0g𝑅)))
151150oveq2d 6706 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))))) = (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ (0g𝑅))))
152 ringmnd 18602 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
15354, 152syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
154153adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → 𝑅 ∈ Mnd)
155 ovex 6718 . . . . . . . 8 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
1565, 155rab2ex 4848 . . . . . . 7 {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∈ V
15723gsumz 17421 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
158154, 156, 157sylancl 695 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
159151, 158eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → (𝑅 Σg (𝑑 ∈ {𝑒𝐴𝑒𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑑)(.r𝑅)(𝐺‘(𝑥𝑓𝑑))))) = (0g𝑅))
16010, 21, 1593eqtrd 2689 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))
161160expr 642 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅)))
162161ralrimiva 2995 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅)))
1631mplring 19500 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
16438, 54, 163syl2anc 694 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
1652, 4ringcl 18607 . . . 4 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
166164, 6, 7, 165syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
16734, 143sseldi 3634 . . 3 (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ*)
16822, 1, 2, 23, 5, 24mdegleb 23869 . . 3 (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐽 + 𝐾) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))))
169166, 167, 168syl2anc 694 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐽 + 𝐾) < (𝐻𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))))
170162, 169mpbird 247 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ◡ccnv 5142   “ cima 5146  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘𝑓 cof 6937   ∘𝑟 cofr 6938   ↑𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  ℝcr 9973   + caddc 9977  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  ℕcn 11058  ℕ0cn0 11330  Basecbs 15904  .rcmulr 15989  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  Mndcmnd 17341  Ringcrg 18593   mPoly cmpl 19401  ℂfldccnfld 19794   mDeg cmdg 23858 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-subrg 18826  df-psr 19404  df-mpl 19406  df-cnfld 19795  df-mdeg 23860 This theorem is referenced by:  mdegmulle2  23884
 Copyright terms: Public domain W3C validator