MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegleb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegleb 24044
Description: Property of being of limited degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z 0 = (0g𝑅)
mdegval.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
Assertion
Ref Expression
mdegleb ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
Distinct variable groups:   𝐴,   𝑚,𝐼   0 ,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   ,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥, 0   ,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐵(,𝑚)   𝐷(𝑥,,𝑚)   𝑃(𝑥,,𝑚)   𝑅(,𝑚)   𝐹(,𝑚)   𝐺(,𝑚)   𝐻(,𝑚)   𝐼(𝑥)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdegleb
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegval.d . . . . 5 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2 mdegval.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mdegval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 mdegval.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
5 mdegval.a . . . . 5 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
6 mdegval.h . . . . 5 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
71, 2, 3, 4, 5, 6mdegval 24043 . . . 4 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
87adantr 472 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐷𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
98breq1d 4815 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐺 ↔ sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺))
10 imassrn 5636 . . . 4 (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
112, 3mplrcl 19713 . . . . . . . 8 (𝐹𝐵𝐼 ∈ V)
1211adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐼 ∈ V)
135, 6tdeglem1 24038 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ V → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
15 frn 6215 . . . . . 6 (𝐻:𝐴⟶ℕ0 → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
17 nn0ssre 11509 . . . . . 6 0 ⊆ ℝ
18 ressxr 10296 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ*
1917, 18sstri 3754 . . . . 5 0 ⊆ ℝ*
2016, 19syl6ss 3757 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ran 𝐻 ⊆ ℝ*)
2110, 20syl5ss 3756 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
22 supxrleub 12370 . . 3 (((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*𝐺 ∈ ℝ*) → (sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦𝐺))
2321, 22sylancom 704 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦𝐺))
24 ffn 6207 . . . . 5 (𝐻:𝐴⟶ℕ0𝐻 Fn 𝐴)
2514, 24syl 17 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐻 Fn 𝐴)
26 suppssdm 7478 . . . . 5 (𝐹 supp 0 ) ⊆ dom 𝐹
27 eqid 2761 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
28 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹𝐵)
292, 27, 3, 5, 28mplelf 19656 . . . . . 6 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅))
30 fdm 6213 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅) → dom 𝐹 = 𝐴)
3129, 30syl 17 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → dom 𝐹 = 𝐴)
3226, 31syl5sseq 3795 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
33 breq1 4808 . . . . 5 (𝑦 = (𝐻𝑥) → (𝑦𝐺 ↔ (𝐻𝑥) ≤ 𝐺))
3433ralima 6663 . . . 4 ((𝐻 Fn 𝐴 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) ≤ 𝐺))
3525, 32, 34syl2anc 696 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) ≤ 𝐺))
36 ffn 6207 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴⟶(Base‘𝑅) → 𝐹 Fn 𝐴)
3729, 36syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐹 Fn 𝐴)
38 ovex 6843 . . . . . . . . . 10 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
3938rabex 4965 . . . . . . . . 9 {𝑚 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
4039a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → {𝑚 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
415, 40syl5eqel 2844 . . . . . . 7 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ V)
42 fvex 6364 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) ∈ V
434, 42eqeltri 2836 . . . . . . . 8 0 ∈ V
4443a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → 0 ∈ V)
45 elsuppfn 7473 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0 )))
46 fvex 6364 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑥) ∈ V
4746biantrur 528 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0 ))
48 eldifsn 4463 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0 ))
4947, 48bitr4i 267 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }))
5049a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐹𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })))
5150anbi2d 742 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }))))
5245, 51bitrd 268 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐴𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }))))
5337, 41, 44, 52syl3anc 1477 . . . . . 6 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }))))
5453imbi1d 330 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺) ↔ ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺)))
55 impexp 461 . . . . . 6 (((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺)))
56 con34b 305 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (¬ (𝐻𝑥) ≤ 𝐺 → ¬ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })))
57 simplr 809 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐺 ∈ ℝ*)
5814ffvelrnda 6524 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ ℕ0)
5919, 58sseldi 3743 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ ℝ*)
60 xrltnle 10318 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ ℝ* ∧ (𝐻𝑥) ∈ ℝ*) → (𝐺 < (𝐻𝑥) ↔ ¬ (𝐻𝑥) ≤ 𝐺))
6157, 59, 60syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺 < (𝐻𝑥) ↔ ¬ (𝐻𝑥) ≤ 𝐺))
6261bicomd 213 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (𝐻𝑥) ≤ 𝐺𝐺 < (𝐻𝑥)))
63 ianor 510 . . . . . . . . . . 11 (¬ ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐹𝑥) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝐹𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ))
6463, 48xchnxbir 322 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ (¬ (𝐹𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ))
65 orcom 401 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ (𝐹𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ) ↔ (¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ ¬ (𝐹𝑥) ∈ V))
6646notnoti 137 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ ¬ (𝐹𝑥) ∈ V
6766biorfi 421 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ↔ (¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ ¬ (𝐹𝑥) ∈ V))
68 nne 2937 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹𝑥) = 0 )
6965, 67, 683bitr2i 288 . . . . . . . . . . 11 ((¬ (𝐹𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝐹𝑥) = 0 )
7069a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → ((¬ (𝐹𝑥) ∈ V ∨ ¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝐹𝑥) = 0 ))
7164, 70syl5bb 272 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) ↔ (𝐹𝑥) = 0 ))
7262, 71imbi12d 333 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → ((¬ (𝐻𝑥) ≤ 𝐺 → ¬ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) ↔ (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
7356, 72syl5bb 272 . . . . . . 7 (((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
7473pm5.74da 725 . . . . . 6 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 }) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 ))))
7555, 74syl5bb 272 . . . . 5 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (V ∖ { 0 })) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥𝐴 → (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 ))))
7654, 75bitrd 268 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 ) → (𝐻𝑥) ≤ 𝐺) ↔ (𝑥𝐴 → (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 ))))
7776ralbidv2 3123 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 supp 0 )(𝐻𝑥) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
7835, 77bitrd 268 . 2 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 ))𝑦𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
799, 23, 783bitrd 294 1 ((𝐹𝐵𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐺 < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  wral 3051  {crab 3055  Vcvv 3341  cdif 3713  wss 3716  {csn 4322   class class class wbr 4805  cmpt 4882  ccnv 5266  dom cdm 5267  ran crn 5268  cima 5270   Fn wfn 6045  wf 6046  cfv 6050  (class class class)co 6815   supp csupp 7465  𝑚 cmap 8026  Fincfn 8124  supcsup 8514  cr 10148  *cxr 10286   < clt 10287  cle 10288  cn 11233  0cn0 11505  Basecbs 16080  0gc0g 16323   Σg cgsu 16324   mPoly cmpl 19576  fldccnfld 19969   mDeg cmdg 24033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-addf 10228  ax-mulf 10229
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-sup 8516  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-hash 13333  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-starv 16179  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-unif 16188  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-abl 18417  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-cring 18771  df-psr 19579  df-mpl 19581  df-cnfld 19970  df-mdeg 24035
This theorem is referenced by:  mdeglt  24045  mdegaddle  24054  mdegvscale  24055  mdegle0  24057  mdegmullem  24058  deg1leb  24075
  Copyright terms: Public domain W3C validator