MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegfval 23992
Description: Value of the multivariate degree function. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z 0 = (0g𝑅)
mdegval.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
Assertion
Ref Expression
mdegfval 𝐷 = (𝑓𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝐴,   𝐵,𝑓   𝑓,𝐼   𝑚,𝐼   𝑅,𝑓   0 ,   𝑓,
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑚)   𝐵(,𝑚)   𝐷(𝑓,,𝑚)   𝑃(𝑓,,𝑚)   𝑅(,𝑚)   𝐻(𝑓,,𝑚)   𝐼()   0 (𝑓,𝑚)

Proof of Theorem mdegfval
Dummy variables 𝑖 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegval.d . 2 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2 oveq12 6810 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝐼𝑟 = 𝑅) → (𝑖 mPoly 𝑟) = (𝐼 mPoly 𝑅))
3 mdegval.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
42, 3syl6eqr 2800 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 𝐼𝑟 = 𝑅) → (𝑖 mPoly 𝑟) = 𝑃)
54fveq2d 6344 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝐼𝑟 = 𝑅) → (Base‘(𝑖 mPoly 𝑟)) = (Base‘𝑃))
6 mdegval.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
75, 6syl6eqr 2800 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝐼𝑟 = 𝑅) → (Base‘(𝑖 mPoly 𝑟)) = 𝐵)
8 fveq2 6340 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑅 → (0g𝑟) = (0g𝑅))
9 mdegval.z . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝑅)
108, 9syl6eqr 2800 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑅 → (0g𝑟) = 0 )
1110oveq2d 6817 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑅 → (𝑓 supp (0g𝑟)) = (𝑓 supp 0 ))
1211mpteq1d 4878 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑅 → ( ∈ (𝑓 supp (0g𝑟)) ↦ (ℂfld Σg )) = ( ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg )))
1312rneqd 5496 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑅 → ran ( ∈ (𝑓 supp (0g𝑟)) ↦ (ℂfld Σg )) = ran ( ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg )))
1413supeq1d 8505 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑅 → sup(ran ( ∈ (𝑓 supp (0g𝑟)) ↦ (ℂfld Σg )), ℝ*, < ) = sup(ran ( ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg )), ℝ*, < ))
1514adantl 473 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝐼𝑟 = 𝑅) → sup(ran ( ∈ (𝑓 supp (0g𝑟)) ↦ (ℂfld Σg )), ℝ*, < ) = sup(ran ( ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg )), ℝ*, < ))
167, 15mpteq12dv 4873 . . . . 5 ((𝑖 = 𝐼𝑟 = 𝑅) → (𝑓 ∈ (Base‘(𝑖 mPoly 𝑟)) ↦ sup(ran ( ∈ (𝑓 supp (0g𝑟)) ↦ (ℂfld Σg )), ℝ*, < )) = (𝑓𝐵 ↦ sup(ran ( ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg )), ℝ*, < )))
17 df-mdeg 23985 . . . . 5 mDeg = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (Base‘(𝑖 mPoly 𝑟)) ↦ sup(ran ( ∈ (𝑓 supp (0g𝑟)) ↦ (ℂfld Σg )), ℝ*, < )))
18 fvex 6350 . . . . . . 7 (Base‘𝑃) ∈ V
196, 18eqeltri 2823 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
2019mptex 6638 . . . . 5 (𝑓𝐵 ↦ sup(ran ( ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg )), ℝ*, < )) ∈ V
2116, 17, 20ovmpt2a 6944 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑓𝐵 ↦ sup(ran ( ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg )), ℝ*, < )))
22 mdegval.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
2322reseq1i 5535 . . . . . . . . 9 (𝐻 ↾ (𝑓 supp 0 )) = ((𝐴 ↦ (ℂfld Σg )) ↾ (𝑓 supp 0 ))
24 suppssdm 7464 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓
25 eqid 2748 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
26 mdegval.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
27 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓𝐵) → 𝑓𝐵)
283, 25, 6, 26, 27mplelf 19606 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓𝐵) → 𝑓:𝐴⟶(Base‘𝑅))
29 fdm 6200 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴⟶(Base‘𝑅) → dom 𝑓 = 𝐴)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓𝐵) → dom 𝑓 = 𝐴)
3124, 30syl5sseq 3782 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓𝐵) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
3231resmptd 5598 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓𝐵) → ((𝐴 ↦ (ℂfld Σg )) ↾ (𝑓 supp 0 )) = ( ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg )))
3323, 32syl5req 2795 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓𝐵) → ( ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg )) = (𝐻 ↾ (𝑓 supp 0 )))
3433rneqd 5496 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓𝐵) → ran ( ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg )) = ran (𝐻 ↾ (𝑓 supp 0 )))
35 df-ima 5267 . . . . . . 7 (𝐻 “ (𝑓 supp 0 )) = ran (𝐻 ↾ (𝑓 supp 0 ))
3634, 35syl6eqr 2800 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓𝐵) → ran ( ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg )) = (𝐻 “ (𝑓 supp 0 )))
3736supeq1d 8505 . . . . 5 (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓𝐵) → sup(ran ( ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg )), ℝ*, < ) = sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < ))
3837mpteq2dva 4884 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑓𝐵 ↦ sup(ran ( ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg )), ℝ*, < )) = (𝑓𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )))
3921, 38eqtrd 2782 . . 3 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑓𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )))
40 reldmmdeg 23987 . . . . . 6 Rel dom mDeg
4140ovprc 6834 . . . . 5 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mDeg 𝑅) = ∅)
42 mpt0 6170 . . . . 5 (𝑓 ∈ ∅ ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )) = ∅
4341, 42syl6eqr 2800 . . . 4 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑓 ∈ ∅ ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )))
44 reldmmpl 19600 . . . . . . . . 9 Rel dom mPoly
4544ovprc 6834 . . . . . . . 8 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPoly 𝑅) = ∅)
463, 45syl5eq 2794 . . . . . . 7 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑃 = ∅)
4746fveq2d 6344 . . . . . 6 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑃) = (Base‘∅))
48 base0 16085 . . . . . 6 ∅ = (Base‘∅)
4947, 6, 483eqtr4g 2807 . . . . 5 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
5049mpteq1d 4878 . . . 4 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑓𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )) = (𝑓 ∈ ∅ ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )))
5143, 50eqtr4d 2785 . . 3 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑓𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )))
5239, 51pm2.61i 176 . 2 (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑓𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < ))
531, 52eqtri 2770 1 𝐷 = (𝑓𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  {crab 3042  Vcvv 3328  c0 4046  cmpt 4869  ccnv 5253  dom cdm 5254  ran crn 5255  cres 5256  cima 5257  wf 6033  cfv 6037  (class class class)co 6801   supp csupp 7451  𝑚 cmap 8011  Fincfn 8109  supcsup 8499  *cxr 10236   < clt 10237  cn 11183  0cn0 11455  Basecbs 16030  0gc0g 16273   Σg cgsu 16274   mPoly cmpl 19526  fldccnfld 19919   mDeg cmdg 23983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-sup 8501  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-fz 12491  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-tset 16133  df-psr 19529  df-mpl 19531  df-mdeg 23985
This theorem is referenced by:  mdegval  23993  mdegxrf  23998  mdegpropd  24014
  Copyright terms: Public domain W3C validator