MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegcl 24028
Description: Sharp closure for multivariate polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegcl.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegcl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
mdegcl (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))

Proof of Theorem mdegcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegcl.d . . 3 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2 mdegcl.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mdegcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 eqid 2760 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5 eqid 2760 . . 3 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
6 eqid 2760 . . 3 (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
71, 2, 3, 4, 5, 6mdegval 24022 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ))
8 supeq1 8516 . . . 4 (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) = ∅ → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < ))
98eleq1d 2824 . . 3 (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) = ∅ → (sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ sup(∅, ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞})))
10 imassrn 5635 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ ran (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
112, 3mplrcl 19692 . . . . . . . 8 (𝐹𝐵𝐼 ∈ V)
125, 6tdeglem1 24017 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ V → (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0)
13 frn 6214 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0 → ran (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) ⊆ ℕ0)
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . 7 (𝐹𝐵 → ran (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) ⊆ ℕ0)
1510, 14syl5ss 3755 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ ℕ0)
1615adantr 472 . . . . 5 ((𝐹𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ ℕ0)
17 ssun1 3919 . . . . 5 0 ⊆ (ℕ0 ∪ {-∞})
1816, 17syl6ss 3756 . . . 4 ((𝐹𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ (ℕ0 ∪ {-∞}))
19 ffun 6209 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0 → Fun (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)))
2011, 12, 193syl 18 . . . . . . 7 (𝐹𝐵 → Fun (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)))
21 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐵𝐹𝐵)
22 reldmmpl 19629 . . . . . . . . . . 11 Rel dom mPoly
2322, 2, 3elbasov 16123 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
2423simprd 482 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐵𝑅 ∈ V)
252, 3, 4, 21, 24mplelsfi 19693 . . . . . . . 8 (𝐹𝐵𝐹 finSupp (0g𝑅))
2625fsuppimpd 8447 . . . . . . 7 (𝐹𝐵 → (𝐹 supp (0g𝑅)) ∈ Fin)
27 imafi 8424 . . . . . . 7 ((Fun (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) ∧ (𝐹 supp (0g𝑅)) ∈ Fin) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ∈ Fin)
2820, 26, 27syl2anc 696 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ∈ Fin)
2928adantr 472 . . . . 5 ((𝐹𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ∈ Fin)
30 simpr 479 . . . . 5 ((𝐹𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅)
31 nn0ssre 11488 . . . . . . 7 0 ⊆ ℝ
32 ressxr 10275 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ*
3331, 32sstri 3753 . . . . . 6 0 ⊆ ℝ*
3416, 33syl6ss 3756 . . . . 5 ((𝐹𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ ℝ*)
35 xrltso 12167 . . . . . 6 < Or ℝ*
36 fisupcl 8540 . . . . . 6 (( < Or ℝ* ∧ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅ ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ ℝ*)) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))))
3735, 36mpan 708 . . . . 5 ((((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅ ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ ℝ*) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))))
3829, 30, 34, 37syl3anc 1477 . . . 4 ((𝐹𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))))
3918, 38sseldd 3745 . . 3 ((𝐹𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
40 xrsup0 12346 . . . . 5 sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
41 ssun2 3920 . . . . . 6 {-∞} ⊆ (ℕ0 ∪ {-∞})
42 mnfxr 10288 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
4342elexi 3353 . . . . . . 7 -∞ ∈ V
4443snid 4353 . . . . . 6 -∞ ∈ {-∞}
4541, 44sselii 3741 . . . . 5 -∞ ∈ (ℕ0 ∪ {-∞})
4640, 45eqeltri 2835 . . . 4 sup(∅, ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞})
4746a1i 11 . . 3 (𝐹𝐵 → sup(∅, ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
489, 39, 47pm2.61ne 3017 . 2 (𝐹𝐵 → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
497, 48eqeltrd 2839 1 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  {crab 3054  Vcvv 3340  cun 3713  wss 3715  c0 4058  {csn 4321  cmpt 4881   Or wor 5186  ccnv 5265  ran crn 5267  cima 5269  Fun wfun 6043  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813   supp csupp 7463  𝑚 cmap 8023  Fincfn 8121  supcsup 8511  cr 10127  -∞cmnf 10264  *cxr 10265   < clt 10266  cn 11212  0cn0 11484  Basecbs 16059  0gc0g 16302   Σg cgsu 16303   mPoly cmpl 19555  fldccnfld 19948   mDeg cmdg 24012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-psr 19558  df-mpl 19560  df-cnfld 19949  df-mdeg 24014
This theorem is referenced by:  deg1cl  24042
  Copyright terms: Public domain W3C validator