MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegaddle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegaddle 24054
Description: The degree of a sum is at most the maximum of the degrees of the factors. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i (𝜑𝐼𝑉)
mdegaddle.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mdegaddle.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegaddle.p + = (+g𝑌)
mdegaddle.f (𝜑𝐹𝐵)
mdegaddle.g (𝜑𝐺𝐵)
Assertion
Ref Expression
mdegaddle (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))

Proof of Theorem mdegaddle
Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mdegaddle.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 mdegaddle.p . . . . . . . . . 10 + = (+g𝑌)
5 mdegaddle.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹𝐵)
6 mdegaddle.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6mpladd 19657 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) = (𝐹𝑓 (+g𝑅)𝐺))
87fveq1d 6334 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = ((𝐹𝑓 (+g𝑅)𝐺)‘𝑐))
98adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = ((𝐹𝑓 (+g𝑅)𝐺)‘𝑐))
10 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
121, 10, 2, 11, 5mplelf 19648 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
13 ffn 6185 . . . . . . . . . 10 (𝐹:{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅) → 𝐹 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
1514adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐹 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
161, 10, 2, 11, 6mplelf 19648 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
17 ffn 6185 . . . . . . . . . 10 (𝐺:{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅) → 𝐺 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
1918adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐺 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
20 ovex 6823 . . . . . . . . . 10 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
2120rabex 4946 . . . . . . . . 9 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
2221a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
23 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
24 fnfvof 7058 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝐺 Fn {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ ({𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})) → ((𝐹𝑓 (+g𝑅)𝐺)‘𝑐) = ((𝐹𝑐)(+g𝑅)(𝐺𝑐)))
2515, 19, 22, 23, 24syl22anc 1477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹𝑓 (+g𝑅)𝐺)‘𝑐) = ((𝐹𝑐)(+g𝑅)(𝐺𝑐)))
269, 25eqtrd 2805 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = ((𝐹𝑐)(+g𝑅)(𝐺𝑐)))
2726adantrr 696 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = ((𝐹𝑐)(+g𝑅)(𝐺𝑐)))
28 mdegaddle.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
29 eqid 2771 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
30 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
315adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → 𝐹𝐵)
32 simprl 754 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
3328, 1, 2mdegxrcl 24047 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
345, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
3534adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
3628, 1, 2mdegxrcl 24047 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
376, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
3837, 34ifcld 4270 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ*)
3938adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ*)
40 nn0ssre 11498 . . . . . . . . . . . . 13 0 ⊆ ℝ
41 ressxr 10285 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℝ*
4240, 41sstri 3761 . . . . . . . . . . . 12 0 ⊆ ℝ*
43 mdegaddle.i . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼𝑉)
4411, 30tdeglem1 24038 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼𝑉 → (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0)
4645ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℕ0)
4742, 46sseldi 3750 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*)
4835, 39, 473jca 1122 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐷𝐹) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*))
4948adantrr 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐷𝐹) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*))
50 xrmax1 12211 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐺) ∈ ℝ*) → (𝐷𝐹) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
5134, 37, 50syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
5251adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐷𝐹) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
53 simprr 756 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))
5452, 53jca 501 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐷𝐹) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)))
55 xrlelttr 12192 . . . . . . . . 9 (((𝐷𝐹) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*) → (((𝐷𝐹) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)) → (𝐷𝐹) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)))
5649, 54, 55sylc 65 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐷𝐹) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))
5728, 1, 2, 29, 11, 30, 31, 32, 56mdeglt 24045 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐹𝑐) = (0g𝑅))
586adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → 𝐺𝐵)
5937adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
6059, 39, 473jca 1122 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐷𝐺) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*))
6160adantrr 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐷𝐺) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*))
62 xrmax2 12212 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐺) ∈ ℝ*) → (𝐷𝐺) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
6334, 37, 62syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
6463adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐷𝐺) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
6564, 53jca 501 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐷𝐺) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)))
66 xrlelttr 12192 . . . . . . . . 9 (((𝐷𝐺) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) ∈ ℝ*) → (((𝐷𝐺) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)) → (𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐)))
6761, 65, 66sylc 65 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))
6828, 1, 2, 29, 11, 30, 58, 32, 67mdeglt 24045 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → (𝐺𝑐) = (0g𝑅))
6957, 68oveq12d 6811 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐹𝑐)(+g𝑅)(𝐺𝑐)) = ((0g𝑅)(+g𝑅)(0g𝑅)))
70 mdegaddle.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
71 ringgrp 18760 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7270, 71syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
7310, 29ring0cl 18777 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
7470, 73syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
7510, 3, 29grplid 17660 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(+g𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
7672, 74, 75syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0g𝑅)(+g𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
7776adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((0g𝑅)(+g𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
7869, 77eqtrd 2805 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐹𝑐)(+g𝑅)(𝐺𝑐)) = (0g𝑅))
7927, 78eqtrd 2805 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐))) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = (0g𝑅))
8079expr 444 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = (0g𝑅)))
8180ralrimiva 3115 . 2 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = (0g𝑅)))
821mplring 19667 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
8343, 70, 82syl2anc 573 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
842, 4ringacl 18786 . . . 4 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
8583, 5, 6, 84syl3anc 1476 . . 3 (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
8628, 1, 2, 29, 11, 30mdegleb 24044 . . 3 (((𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ↔ ∀𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = (0g𝑅))))
8785, 38, 86syl2anc 573 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ↔ ∀𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} (if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑐) → ((𝐹 + 𝐺)‘𝑐) = (0g𝑅))))
8881, 87mpbird 247 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 + 𝐺)) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  {crab 3065  Vcvv 3351  ifcif 4225   class class class wbr 4786  cmpt 4863  ccnv 5248  cima 5252   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  𝑓 cof 7042  𝑚 cmap 8009  Fincfn 8109  cr 10137  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277  cn 11222  0cn0 11494  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308   Σg cgsu 16309  Grpcgrp 17630  Ringcrg 18755   mPoly cmpl 19568  fldccnfld 19961   mDeg cmdg 24033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-subrg 18988  df-psr 19571  df-mpl 19573  df-cnfld 19962  df-mdeg 24035
This theorem is referenced by:  deg1addle  24081
  Copyright terms: Public domain W3C validator