Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mccllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mccllem 40147
Description: * Induction step for mccl 40148. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mccllem.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
mccllem.c (𝜑𝐶𝐴)
mccllem.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐶))
mccllem.b (𝜑𝐵 ∈ (ℕ0𝑚 (𝐶 ∪ {𝐷})))
mccllem.6 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝐶)((!‘Σ𝑘𝐶 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
mccllem (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑏,𝑘   𝐶,𝑏,𝑘   𝐷,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏)   𝐴(𝑏)   𝐷(𝑏)

Proof of Theorem mccllem
StepHypRef Expression
1 nfv 1883 . . . . 5 𝑘𝜑
2 nfcv 2793 . . . . 5 𝑘(!‘(𝐵𝐷))
3 mccllem.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
4 mccllem.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐴)
5 ssfi 8221 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶𝐴) → 𝐶 ∈ Fin)
63, 4, 5syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
7 mccllem.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐶))
8 eldifn 3766 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (𝐴𝐶) → ¬ 𝐷𝐶)
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐷𝐶)
10 mccllem.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ (ℕ0𝑚 (𝐶 ∪ {𝐷})))
11 elmapi 7921 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (ℕ0𝑚 (𝐶 ∪ {𝐷})) → 𝐵:(𝐶 ∪ {𝐷})⟶ℕ0)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵:(𝐶 ∪ {𝐷})⟶ℕ0)
1312adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐵:(𝐶 ∪ {𝐷})⟶ℕ0)
14 elun1 3813 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐶𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷}))
1514adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷}))
1613, 15ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐶) → (𝐵𝑘) ∈ ℕ0)
1716faccld 13111 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐶) → (!‘(𝐵𝑘)) ∈ ℕ)
1817nncnd 11074 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐶) → (!‘(𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
19 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐷 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝐷))
2019fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑘 = 𝐷 → (!‘(𝐵𝑘)) = (!‘(𝐵𝐷)))
21 snidg 4239 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (𝐴𝐶) → 𝐷 ∈ {𝐷})
227, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ {𝐷})
23 elun2 3814 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ {𝐷} → 𝐷 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷}))
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷}))
2512, 24ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐷) ∈ ℕ0)
2625faccld 13111 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝐵𝐷)) ∈ ℕ)
2726nncnd 11074 . . . . 5 (𝜑 → (!‘(𝐵𝐷)) ∈ ℂ)
281, 2, 6, 7, 9, 18, 20, 27fprodsplitsn 14764 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(!‘(𝐵𝑘)) = (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷))))
2928oveq2d 6706 . . 3 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(!‘(𝐵𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷)))))
307eldifad 3619 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷𝐴)
31 snssi 4371 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝐴 → {𝐷} ⊆ 𝐴)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝐷} ⊆ 𝐴)
334, 32unssd 3822 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 ∪ {𝐷}) ⊆ 𝐴)
34 ssfi 8221 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐶 ∪ {𝐷}) ⊆ 𝐴) → (𝐶 ∪ {𝐷}) ∈ Fin)
353, 33, 34syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∪ {𝐷}) ∈ Fin)
3612ffvelrnda 6399 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})) → (𝐵𝑘) ∈ ℕ0)
3735, 36fsumnn0cl 14511 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) ∈ ℕ0)
3837faccld 13111 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) ∈ ℕ)
3938nncnd 11074 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
401, 6, 18fprodclf 14767 . . . . . . 7 (𝜑 → ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
4140, 27mulcld 10098 . . . . . 6 (𝜑 → (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷))) ∈ ℂ)
4217nnne0d 11103 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐶) → (!‘(𝐵𝑘)) ≠ 0)
436, 18, 42fprodn0 14753 . . . . . . 7 (𝜑 → ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) ≠ 0)
4426nnne0d 11103 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘(𝐵𝐷)) ≠ 0)
4540, 27, 43, 44mulne0d 10717 . . . . . 6 (𝜑 → (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷))) ≠ 0)
4639, 41, 45divcld 10839 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷)))) ∈ ℂ)
4746mulid2d 10096 . . . 4 (𝜑 → (1 · ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷))))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷)))))
4847eqcomd 2657 . . 3 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷)))) = (1 · ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷))))))
496, 16fsumnn0cl 14511 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ ℕ0)
5049faccld 13111 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) ∈ ℕ)
5150nncnd 11074 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
52 nnne0 11091 . . . . . . . 8 ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) ∈ ℕ → (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) ≠ 0)
5350, 52syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) ≠ 0)
5451, 53dividd 10837 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) = 1)
5554eqcomd 2657 . . . . 5 (𝜑 → 1 = ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))))
5640, 27mulcomd 10099 . . . . . . 7 (𝜑 → (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷))) = ((!‘(𝐵𝐷)) · ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘))))
5756oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷)))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(𝐵𝐷)) · ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))))
5839, 27, 40, 44, 43divdiv1d 10870 . . . . . . 7 (𝜑 → (((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(𝐵𝐷)) · ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))))
5958eqcomd 2657 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(𝐵𝐷)) · ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))) = (((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘))))
6057, 59eqtrd 2685 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷)))) = (((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘))))
6155, 60oveq12d 6708 . . . 4 (𝜑 → (1 · ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷))))) = (((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · (((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))))
6239, 27, 44divcld 10839 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) ∈ ℂ)
6351, 51, 62, 40, 53, 43divmul13d 10881 . . . 4 (𝜑 → (((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · (((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))) = ((((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))))
6461, 63eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → (1 · ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷))))) = ((((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))))
6529, 48, 643eqtrd 2689 . 2 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(!‘(𝐵𝑘))) = ((((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))))
6639, 27, 51, 44, 53divdiv1d 10870 . . . . 5 (𝜑 → (((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(𝐵𝐷)) · (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))))
67 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘)
6816nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐶) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
69 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐷 → (𝐵𝑘) = 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘))
70 csbfv 6271 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘) = (𝐵𝐷)
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘) = (𝐵𝐷))
7225nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝐷) ∈ ℂ)
7371, 72eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘) ∈ ℂ)
741, 67, 6, 30, 9, 68, 69, 73fsumsplitsn 14518 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) = (Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) + 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘)))
7574oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) = ((Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) + 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘)) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))
7649nn0cnd 11391 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
7776, 73pncan2d 10432 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) + 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘)) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) = 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘))
7875, 77, 713eqtrrd 2690 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐷) = (Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))
7978fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘(𝐵𝐷)) = (!‘(Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))))
8079oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘(𝐵𝐷)) · (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) = ((!‘(Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))))
8180oveq2d 6706 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(𝐵𝐷)) · (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))))
82 0zd 11427 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
8337nn0zd 11518 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) ∈ ℤ)
8449nn0zd 11518 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ ℤ)
8582, 83, 843jca 1261 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ ℤ))
8649nn0ge0d 11392 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))
8725nn0ge0d 11392 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐷))
8871eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝐷) = 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘))
8987, 88breqtrd 4711 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘))
9049nn0red 11390 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
9125nn0red 11390 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝐷) ∈ ℝ)
9271, 91eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘) ∈ ℝ)
9390, 92addge01d 10653 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 ≤ 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘) ↔ Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ≤ (Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) + 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘))))
9489, 93mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ≤ (Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) + 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘)))
9574eqcomd 2657 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) + 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘))
9694, 95breqtrd 4711 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘))
9785, 86, 96jca32 557 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∧ Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘))))
98 elfz2 12371 . . . . . . . 8 𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ (0...Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∧ Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘))))
9997, 98sylibr 224 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ (0...Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)))
100 bcval2 13132 . . . . . . 7 𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ (0...Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) → (Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)CΣ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))))
10199, 100syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)CΣ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))))
102101eqcomd 2657 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)CΣ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))
10366, 81, 1023eqtrd 2689 . . . 4 (𝜑 → (((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)CΣ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))
104 bccl2 13150 . . . . 5 𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ (0...Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) → (Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)CΣ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) ∈ ℕ)
10599, 104syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)CΣ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) ∈ ℕ)
106103, 105eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑 → (((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
107 mccllem.6 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝐶)((!‘Σ𝑘𝐶 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
108 ssun1 3809 . . . . . 6 𝐶 ⊆ (𝐶 ∪ {𝐷})
109108a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐶 ⊆ (𝐶 ∪ {𝐷}))
110 elmapssres 7924 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℕ0𝑚 (𝐶 ∪ {𝐷})) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐶 ∪ {𝐷})) → (𝐵𝐶) ∈ (ℕ0𝑚 𝐶))
11110, 109, 110syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐶) ∈ (ℕ0𝑚 𝐶))
112 fveq1 6228 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝐵𝐶) → (𝑏𝑘) = ((𝐵𝐶)‘𝑘))
113112adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = (𝐵𝐶) ∧ 𝑘𝐶) → (𝑏𝑘) = ((𝐵𝐶)‘𝑘))
114 fvres 6245 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐶 → ((𝐵𝐶)‘𝑘) = (𝐵𝑘))
115114adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = (𝐵𝐶) ∧ 𝑘𝐶) → ((𝐵𝐶)‘𝑘) = (𝐵𝑘))
116113, 115eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = (𝐵𝐶) ∧ 𝑘𝐶) → (𝑏𝑘) = (𝐵𝑘))
117116sumeq2dv 14477 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐵𝐶) → Σ𝑘𝐶 (𝑏𝑘) = Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))
118117fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐵𝐶) → (!‘Σ𝑘𝐶 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))
119116fveq2d 6233 . . . . . . . 8 ((𝑏 = (𝐵𝐶) ∧ 𝑘𝐶) → (!‘(𝑏𝑘)) = (!‘(𝐵𝑘)))
120119prodeq2dv 14697 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐵𝐶) → ∏𝑘𝐶 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))
121118, 120oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑏 = (𝐵𝐶) → ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘))))
122121eleq1d 2715 . . . . 5 (𝑏 = (𝐵𝐶) → (((!‘Σ𝑘𝐶 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ))
123122rspccva 3339 . . . 4 ((∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝐶)((!‘Σ𝑘𝐶 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ∧ (𝐵𝐶) ∈ (ℕ0𝑚 𝐶)) → ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
124107, 111, 123syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
125106, 124nnmulcld 11106 . 2 (𝜑 → ((((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))) ∈ ℕ)
12665, 125eqeltrd 2730 1 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  csb 3566  cdif 3604  cun 3605  wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685  cres 5145  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  ...cfz 12364  !cfa 13100  Ccbc 13129  Σcsu 14460  cprod 14679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-prod 14680
This theorem is referenced by:  mccl  40148
  Copyright terms: Public domain W3C validator