Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mccl 40148
 Description: A multinomial coefficient, in its standard domain, is a positive integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mccl.kb 𝑘𝐵
mccl.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
mccl.b (𝜑𝐵 ∈ (ℕ0𝑚 𝐴))
Assertion
Ref Expression
mccl (𝜑 → ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem mccl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 14463 . . . . . . . 8 (𝑎 = ∅ → Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘))
21fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)))
3 prodeq1 14683 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘)))
42, 3oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → ((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))))
54eleq1d 2715 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → (((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
65ralbidv 3015 . . . 4 (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
7 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → (ℕ0𝑚 𝑎) = (ℕ0𝑚 ∅))
87raleqdv 3174 . . . 4 (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
96, 8bitrd 268 . . 3 (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
10 sumeq1 14463 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑐 → Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘) = Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘))
1110fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑐 → (!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)))
12 prodeq1 14683 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑐 → ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘)))
1311, 12oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑐 → ((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))))
1413eleq1d 2715 . . . . 5 (𝑎 = 𝑐 → (((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
1514ralbidv 3015 . . . 4 (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
16 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑎 = 𝑐 → (ℕ0𝑚 𝑎) = (ℕ0𝑚 𝑐))
1716raleqdv 3174 . . . 4 (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
1815, 17bitrd 268 . . 3 (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
19 sumeq1 14463 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘) = Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘))
2019fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)))
21 prodeq1 14683 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘)))
2220, 21oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → ((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))))
2322eleq1d 2715 . . . . 5 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
2423ralbidv 3015 . . . 4 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
25 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (ℕ0𝑚 𝑎) = (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑})))
2625raleqdv 3174 . . . 4 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
2724, 26bitrd 268 . . 3 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
28 sumeq1 14463 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘) = Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘))
2928fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)))
30 prodeq1 14683 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘)))
3129, 30oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))))
3231eleq1d 2715 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
3332ralbidv 3015 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
34 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (ℕ0𝑚 𝑎) = (ℕ0𝑚 𝐴))
3534raleqdv 3174 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝐴)((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
3633, 35bitrd 268 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝐴)((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
37 sum0 14496 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘) = 0
3837fveq2i 6232 . . . . . . . . 9 (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) = (!‘0)
39 fac0 13103 . . . . . . . . 9 (!‘0) = 1
4038, 39eqtri 2673 . . . . . . . 8 (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) = 1
41 prod0 14717 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘)) = 1
4240, 41oveq12i 6702 . . . . . . 7 ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) = (1 / 1)
43 1div1e1 10755 . . . . . . 7 (1 / 1) = 1
4442, 43eqtri 2673 . . . . . 6 ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) = 1
45 1nn 11069 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
4644, 45eqeltri 2726 . . . . 5 ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ
4746a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 ∅)) → ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
4847ralrimiva 2995 . . 3 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
49 nfv 1883 . . . . . 6 𝑏(𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐)))
50 nfra1 2970 . . . . . 6 𝑏𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ
5149, 50nfan 1868 . . . . 5 𝑏((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
52 simpll 805 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))) → (𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))))
53 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → (𝑏𝑘) = (𝑏𝑗))
5453cbvsumv 14470 . . . . . . . . . . . . . . 15 Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘) = Σ𝑗𝑐 (𝑏𝑗)
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘) = Σ𝑗𝑐 (𝑏𝑗))
56 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑒 → (𝑏𝑗) = (𝑒𝑗))
5756sumeq2ad 14478 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑗𝑐 (𝑏𝑗) = Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗))
5855, 57eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘) = Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗))
5958fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑒 → (!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)))
6053fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (!‘(𝑏𝑘)) = (!‘(𝑏𝑗)))
6160cbvprodv 14690 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑏𝑗))
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑏𝑗)))
6356fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑒 → (!‘(𝑏𝑗)) = (!‘(𝑒𝑗)))
6463prodeq2ad 40142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑏𝑗)) = ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗)))
6562, 64eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗)))
6659, 65oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑒 → ((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))))
6766eleq1d 2715 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑒 → (((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ))
6867cbvralv 3201 . . . . . . . . 9 (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ)
6968biimpi 206 . . . . . . . 8 (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ → ∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ)
7069ad2antlr 763 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ)
71 simpr 476 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑})))
72 mccl.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7372ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝐴 ∈ Fin)
74 simprl 809 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) → 𝑐𝐴)
7574ad2antrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑐𝐴)
76 simprr 811 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) → 𝑑 ∈ (𝐴𝑐))
7776ad2antrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑑 ∈ (𝐴𝑐))
78 simpr 476 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑})))
79 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑘 → (𝑒𝑗) = (𝑒𝑘))
8079cbvsumv 14470 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗) = Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘)
8180fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . 13 (!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) = (!‘Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘))
8279fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑘 → (!‘(𝑒𝑗)) = (!‘(𝑒𝑘)))
8382cbvprodv 14690 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗)) = ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑒𝑘))
8481, 83oveq12i 6702 . . . . . . . . . . . 12 ((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) = ((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑒𝑘)))
8584eleq1i 2721 . . . . . . . . . . 11 (((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑒𝑘))) ∈ ℕ)
8685ralbii 3009 . . . . . . . . . 10 (∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑒𝑘))) ∈ ℕ)
8786biimpi 206 . . . . . . . . 9 (∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ → ∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑒𝑘))) ∈ ℕ)
8887ad2antlr 763 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑒𝑘))) ∈ ℕ)
8973, 75, 77, 78, 88mccllem 40147 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
9052, 70, 71, 89syl21anc 1365 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
9190ex 449 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ) → (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑})) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
9251, 91ralrimi 2986 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ) → ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
9392ex 449 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ → ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
949, 18, 27, 36, 48, 93, 72findcard2d 8243 . 2 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝐴)((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
95 mccl.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ (ℕ0𝑚 𝐴))
96 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑘𝑏
97 mccl.kb . . . . . . . . 9 𝑘𝐵
9896, 97nfeq 2805 . . . . . . . 8 𝑘 𝑏 = 𝐵
99 fveq1 6228 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏𝑘) = (𝐵𝑘))
10099a1d 25 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → (𝑘𝐴 → (𝑏𝑘) = (𝐵𝑘)))
10198, 100ralrimi 2986 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → ∀𝑘𝐴 (𝑏𝑘) = (𝐵𝑘))
102101sumeq2d 14476 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘) = Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘))
103102fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘)))
10499fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → (!‘(𝑏𝑘)) = (!‘(𝐵𝑘)))
105104a1d 25 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝑘𝐴 → (!‘(𝑏𝑘)) = (!‘(𝐵𝑘))))
10698, 105ralrimi 2986 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ∀𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘)) = (!‘(𝐵𝑘)))
107106prodeq2d 14696 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑘𝐴 (!‘(𝐵𝑘)))
108103, 107oveq12d 6708 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝐵𝑘))))
109108eleq1d 2715 . . 3 (𝑏 = 𝐵 → (((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ))
110109rspccva 3339 . 2 ((∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝐴)((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℕ0𝑚 𝐴)) → ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
11194, 95, 110syl2anc 694 1 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Ⅎwnfc 2780  ∀wral 2941   ∖ cdif 3604   ∪ cun 3605   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  {csn 4210  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  0cc0 9974  1c1 9975   / cdiv 10722  ℕcn 11058  ℕ0cn0 11330  !cfa 13100  Σcsu 14460  ∏cprod 14679 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-prod 14680 This theorem is referenced by:  etransclem24  40793  etransclem25  40794  etransclem26  40795  etransclem28  40797  etransclem35  40804  etransclem37  40806
 Copyright terms: Public domain W3C validator