Theorem mblss 23519

Description: A measurable set is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblss	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem mblss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbl 23514	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))))))
2	1	simplbi 485	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061   ∖ cdif 3720   ∩ cin 3722   ⊆ wss 3723  𝒫 cpw 4297  dom cdm 5249  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℝcr 10137   + caddc 10141  vol*covol 23450  volcvol 23451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-ovol 23452  df-vol 23453

This theorem is referenced by:  volss  23521  nulmbl2  23524  unmbl  23525  shftmbl  23526  unidmvol  23529  inmbl  23530  difmbl  23531  volun  23533  volinun  23534  volfiniun  23535  voliunlem2  23539  voliunlem3  23540  volsup  23544  volsup2  23593  volcn  23594  vitalilem4  23599  vitalilem5  23600  vitali  23601  ismbf  23616  ismbfcn  23617  mbfconst  23621  mbfid  23623  cncombf  23645  cnmbf  23646  i1fima2  23666  i1fd  23668  itg1ge0  23673  i1f1lem  23676  itg11  23678  i1fadd  23682  i1fmul  23683  itg1addlem2  23684  itg1addlem5  23687  i1fres  23692  itg1ge0a  23698  itg1climres  23701  mbfi1fseqlem4  23705  mbfi1flim  23710  mbfmullem2  23711  itg2const2  23728  itg2splitlem  23735  itg2split  23736  itg2gt0  23747  itg2cnlem2  23749  ibladdlem  23806  itgaddlem1  23809  iblabslem  23814  itggt0  23828  itgcn  23829  ftc1lem4  24022  itgulm  24382  areaf  24909  dmvlsiga  30532  volsupnfl  33787  cnambfre  33790  itg2addnclem  33793  ibladdnclem  33798  itgaddnclem1  33800  iblabsnclem  33805  ftc1cnnclem  33815  volge0  40694  dmvolss  40719  vonvol  41396