Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfulm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfulm 24359
 Description: A uniform limit of measurable functions is measurable. (This is just a corollary of the fact that a pointwise limit of measurable functions is measurable, see mbflim 23634.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfulm.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
mbfulm.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
mbfulm.f (𝜑𝐹:𝑍⟶MblFn)
mbfulm.u (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
Assertion
Ref Expression
mbfulm (𝜑𝐺 ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfulm
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfulm.u . . . 4 (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
2 ulmcl 24334 . . . 4 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
43feqmptd 6411 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑧𝑆 ↦ (𝐺𝑧)))
5 mbfulm.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 mbfulm.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
76adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑀 ∈ ℤ)
8 mbfulm.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑍⟶MblFn)
9 ffn 6206 . . . . . . 7 (𝐹:𝑍⟶MblFn → 𝐹 Fn 𝑍)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
11 ulmf2 24337 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
1210, 1, 11syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
1312adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
14 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧𝑆)
15 fvex 6362 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ∈ V
165, 15eqeltri 2835 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
1716mptex 6650 . . . . 5 (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ∈ V
1817a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑆) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ∈ V)
19 fveq2 6352 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
2019fveq1d 6354 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑛)‘𝑧))
21 eqid 2760 . . . . . . 7 (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) = (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧))
22 fvex 6362 . . . . . . 7 ((𝐹𝑛)‘𝑧) ∈ V
2320, 21, 22fvmpt 6444 . . . . . 6 (𝑛𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧))‘𝑛) = ((𝐹𝑛)‘𝑧))
2423eqcomd 2766 . . . . 5 (𝑛𝑍 → ((𝐹𝑛)‘𝑧) = ((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧))‘𝑛))
2524adantl 473 . . . 4 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑧) = ((𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧))‘𝑛))
261adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
275, 7, 13, 14, 18, 25, 26ulmclm 24340 . . 3 ((𝜑𝑧𝑆) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧))
2812ffvelrnda 6522 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
29 elmapi 8045 . . . . . 6 ((𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
3028, 29syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
3130feqmptd 6411 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝑧𝑆 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)))
328ffvelrnda 6522 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ MblFn)
3331, 32eqeltrrd 2840 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑧𝑆 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ∈ MblFn)
3430ffvelrnda 6522 . . . 4 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
3534anasss 682 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
365, 6, 27, 33, 35mbflim 23634 . 2 (𝜑 → (𝑧𝑆 ↦ (𝐺𝑧)) ∈ MblFn)
374, 36eqeltrd 2839 1 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ↑𝑚 cmap 8023  ℂcc 10126  ℤcz 11569  ℤ≥cuz 11879  MblFncmbf 23582  ⇝𝑢culm 24329 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cc 9449  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xadd 12140  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-xmet 19941  df-met 19942  df-ovol 23433  df-vol 23434  df-mbf 23587  df-ulm 24330 This theorem is referenced by:  iblulm  24360
 Copyright terms: Public domain W3C validator