MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfsup 23476
Description: The supremum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. Note that in this and related theorems, 𝐵(𝑛, 𝑥) is a function of both 𝑛 and 𝑥, since it is an 𝑛-indexed sequence of functions on 𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfsup.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
mbfsup.2 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
mbfsup.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
mbfsup.4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
mbfsup.5 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
mbfsup.6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦)
Assertion
Ref Expression
mbfsup (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem mbfsup
Dummy variables 𝑚 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfsup.5 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
21anassrs 681 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
32an32s 863 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑛𝑍𝐵) = (𝑛𝑍𝐵)
53, 4fmptd 6425 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ)
6 frn 6091 . . . . 5 ((𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ → ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ)
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ)
8 mbfsup.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 uzid 11740 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
11 mbfsup.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
1210, 11syl6eleqr 2741 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑍)
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀𝑍)
144, 3dmmptd 6062 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → dom (𝑛𝑍𝐵) = 𝑍)
1513, 14eleqtrrd 2733 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ dom (𝑛𝑍𝐵))
16 ne0i 3954 . . . . . 6 (𝑀 ∈ dom (𝑛𝑍𝐵) → dom (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → dom (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
18 dm0rn0 5374 . . . . . 6 (dom (𝑛𝑍𝐵) = ∅ ↔ ran (𝑛𝑍𝐵) = ∅)
1918necon3bii 2875 . . . . 5 (dom (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅ ↔ ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
2017, 19sylib 208 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
21 mbfsup.6 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦)
22 ffn 6083 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ → (𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍)
235, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍)
24 breq1 4688 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) → (𝑧𝑦 ↔ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦))
2524ralrn 6402 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍 → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦 ↔ ∀𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦))
2623, 25syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦 ↔ ∀𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦))
27 nffvmpt1 6237 . . . . . . . . . 10 𝑛((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)
28 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑛
29 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑦
3027, 28, 29nfbr 4732 . . . . . . . . 9 𝑛((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦
31 nfv 1883 . . . . . . . . 9 𝑚((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ≤ 𝑦
32 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))
3332breq1d 4695 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦 ↔ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ≤ 𝑦))
3430, 31, 33cbvral 3197 . . . . . . . 8 (∀𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ≤ 𝑦)
35 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
364fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑍𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
3735, 3, 36syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
3837breq1d 4695 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ≤ 𝑦𝐵𝑦))
3938ralbidva 3014 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑛𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦))
4034, 39syl5bb 272 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦))
4126, 40bitrd 268 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦))
4241rexbidv 3081 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝐵𝑦))
4321, 42mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦)
44 suprcl 11021 . . . 4 ((ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦) → sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
457, 20, 43, 44syl3anc 1366 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
46 mbfsup.2 . . 3 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
4745, 46fmptd 6425 . 2 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
48 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
49 ltso 10156 . . . . . . . . . . . . . 14 < Or ℝ
5049supex 8410 . . . . . . . . . . . . 13 sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) ∈ V
5146fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐴 ∧ sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) ∈ V) → (𝐺𝑥) = sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
5248, 50, 51sylancl 695 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
5352breq2d 4697 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ 𝑡 < sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < )))
547, 20, 433jca 1261 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦))
5554adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦))
56 simplr 807 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑡 ∈ ℝ)
57 suprlub 11025 . . . . . . . . . . . 12 (((ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑧𝑦) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 < sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑡 < 𝑧))
5855, 56, 57syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑡 < sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑡 < 𝑧))
5923adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍)
60 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) → (𝑡 < 𝑧𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)))
6160rexrn 6401 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍 → (∃𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑡 < 𝑧 ↔ ∃𝑚𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)))
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑡 < 𝑧 ↔ ∃𝑚𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)))
63 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝑡
64 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛 <
6563, 64, 27nfbr 4732 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)
66 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)
6732breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑛 → (𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ↔ 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
6865, 66, 67cbvrex 3198 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑚𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))
694fvmpt2i 6329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑍 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = ( I ‘𝐵))
70 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
7170fvmpt2i 6329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐴 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ( I ‘𝐵))
7271adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ( I ‘𝐵))
7372eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → ( I ‘𝐵) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
7469, 73sylan9eqr 2707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
7574breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ↔ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
7675rexbidva 3078 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
7776adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
7868, 77syl5bb 272 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑚𝑍 𝑡 < ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
7962, 78bitrd 268 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑡 < 𝑧 ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
8053, 58, 793bitrd 294 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
8180ralrimiva 2995 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ∀𝑥𝐴 (𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
82 nfv 1883 . . . . . . . . . 10 𝑧(𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
83 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑡
84 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 <
85 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
8646, 85nfcxfr 2791 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐺
87 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑧
8886, 87nffv 6236 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝐺𝑧)
8983, 84, 88nfbr 4732 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝑡 < (𝐺𝑧)
90 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑍
91 nffvmpt1 6237 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)
9283, 84, 91nfbr 4732 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)
9390, 92nfrex 3036 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)
9489, 93nfbi 1873 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑡 < (𝐺𝑧) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))
95 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑧))
9695breq2d 4697 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ 𝑡 < (𝐺𝑧)))
97 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))
9897breq2d 4697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
9998rexbidv 3081 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
10096, 99bibi12d 334 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ↔ (𝑡 < (𝐺𝑧) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))))
10182, 94, 100cbvral 3197 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐴 (𝑡 < (𝐺𝑥) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑡 < (𝐺𝑧) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
10281, 101sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ∀𝑧𝐴 (𝑡 < (𝐺𝑧) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
103102r19.21bi 2961 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑡 < (𝐺𝑧) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
104 rexr 10123 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℝ*)
105104ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑡 ∈ ℝ*)
106 elioopnf 12305 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ ℝ* → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < (𝐺𝑧))))
107105, 106syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < (𝐺𝑧))))
10847adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
109108ffvelrnda 6399 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐺𝑧) ∈ ℝ)
110109biantrurd 528 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑡 < (𝐺𝑧) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < (𝐺𝑧))))
111107, 110bitr4d 271 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ 𝑡 < (𝐺𝑧)))
112105adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑡 ∈ ℝ*)
113 elioopnf 12305 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ ℝ* → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))))
114112, 113syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))))
1152, 70fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ)
116115ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℝ)
117116biantrurd 528 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ↔ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))))
118117an32s 863 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ↔ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))))
119118adantllr 755 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ↔ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))))
120114, 119bitr4d 271 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
121120rexbidva 3078 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (∃𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑡 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)))
122103, 111, 1213bitr4d 300 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞) ↔ ∃𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞)))
123122pm5.32da 674 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ∃𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
124 ffn 6083 . . . . . . . 8 (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝐴)
12547, 124syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
126125adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝐺 Fn 𝐴)
127 elpreima 6377 . . . . . 6 (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
128126, 127syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐺𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
129 eliun 4556 . . . . . 6 (𝑧 𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑧 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)))
130 ffn 6083 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ → (𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴)
131115, 130syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴)
132 elpreima 6377 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
133131, 132syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
134133rexbidva 3078 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑛𝑍 𝑧 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ ∃𝑛𝑍 (𝑧𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
135134adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (∃𝑛𝑍 𝑧 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ ∃𝑛𝑍 (𝑧𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
136 r19.42v 3121 . . . . . . 7 (∃𝑛𝑍 (𝑧𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ∃𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞)))
137135, 136syl6bb 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (∃𝑛𝑍 𝑧 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ∃𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
138129, 137syl5bb 272 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑧 𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ∃𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ (𝑡(,)+∞))))
139123, 128, 1383bitr4d 300 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐺 “ (𝑡(,)+∞)) ↔ 𝑧 𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞))))
140139eqrdv 2649 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺 “ (𝑡(,)+∞)) = 𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)))
141 zex 11424 . . . . . . 7 ℤ ∈ V
142 uzssz 11745 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
143 ssdomg 8043 . . . . . . 7 (ℤ ∈ V → ((ℤ𝑀) ⊆ ℤ → (ℤ𝑀) ≼ ℤ))
144141, 142, 143mp2 9 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ≼ ℤ
14511, 144eqbrtri 4706 . . . . 5 𝑍 ≼ ℤ
146 znnen 14985 . . . . 5 ℤ ≈ ℕ
147 domentr 8056 . . . . 5 ((𝑍 ≼ ℤ ∧ ℤ ≈ ℕ) → 𝑍 ≼ ℕ)
148145, 146, 147mp2an 708 . . . 4 𝑍 ≼ ℕ
149 mbfsup.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
150 mbfima 23444 . . . . . . 7 (((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
151149, 115, 150syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
152151ralrimiva 2995 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
153152adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ∀𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
154 iunmbl2 23371 . . . 4 ((𝑍 ≼ ℕ ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol) → 𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
155148, 153, 154sylancr 696 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑛𝑍 ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
156140, 155eqeltrd 2730 . 2 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺 “ (𝑡(,)+∞)) ∈ dom vol)
15747, 156ismbf3d 23466 1 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948   ciun 4552   class class class wbr 4685  cmpt 4762   I cid 5052  ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144  cima 5146   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cen 7994  cdom 7995  supcsup 8387  cr 9973  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  cz 11415  cuz 11725  (,)cioo 12213  volcvol 23278  MblFncmbf 23428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-xmet 19787  df-met 19788  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433
This theorem is referenced by:  mbfinf  23477  mbflimsup  23478
  Copyright terms: Public domain W3C validator