Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfss 23458
 Description: Change the domain of a measurability predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfss.1 (𝜑𝐴𝐵)
mbfss.2 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
mbfss.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
mbfss.4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
mbfss.5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfss (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfss
StepHypRef Expression
1 elun 3786 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐴)))
2 undif2 4077 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴𝐵)
3 mbfss.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐵)
4 ssequn1 3816 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵) = 𝐵)
53, 4sylib 208 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐵) = 𝐵)
62, 5syl5eq 2697 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
76eleq2d 2716 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↔ 𝑥𝐵))
81, 7syl5bbr 274 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) ↔ 𝑥𝐵))
98biimpar 501 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐴)))
10 mbfss.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
11 mbfss.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
1210, 11mbfmptcl 23449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
13 mbfss.4 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
14 0cn 10070 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
1513, 14syl6eqel 2738 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
1612, 15jaodan 843 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵𝐴))) → 𝐶 ∈ ℂ)
179, 16syldan 486 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
1817recld 13978 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
19 eqid 2651 . . . 4 (𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) = (𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶))
2018, 19fmptd 6425 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)):𝐵⟶ℝ)
213resmptd 5487 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)))
2212ismbfcn2 23451 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
2310, 22mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn))
2423simpld 474 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
2521, 24eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
26 difss 3770 . . . . . 6 (𝐵𝐴) ⊆ 𝐵
27 resmpt 5484 . . . . . 6 ((𝐵𝐴) ⊆ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶)))
2826, 27ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶))
2913fveq2d 6233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (ℜ‘𝐶) = (ℜ‘0))
30 re0 13936 . . . . . . 7 (ℜ‘0) = 0
3129, 30syl6eq 2701 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (ℜ‘𝐶) = 0)
3231mpteq2dva 4777 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ (ℜ‘𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0))
3328, 32syl5eq 2697 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0))
34 fconstmpt 5197 . . . . 5 ((𝐵𝐴) × {0}) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0)
35 mbfss.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
3610, 11mbfdm2 23450 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
37 difmbl 23357 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐵𝐴) ∈ dom vol)
3835, 36, 37syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ dom vol)
39 mbfconst 23447 . . . . . 6 (((𝐵𝐴) ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐴) × {0}) ∈ MblFn)
4038, 14, 39sylancl 695 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐴) × {0}) ∈ MblFn)
4134, 40syl5eqelr 2735 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0) ∈ MblFn)
4233, 41eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) ∈ MblFn)
4320, 25, 42, 6mbfres2 23457 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
4417imcld 13979 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
45 eqid 2651 . . . 4 (𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) = (𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶))
4644, 45fmptd 6425 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)):𝐵⟶ℝ)
473resmptd 5487 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)))
4823simprd 478 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
4947, 48eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
50 resmpt 5484 . . . . . 6 ((𝐵𝐴) ⊆ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶)))
5126, 50ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶))
5213fveq2d 6233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (ℑ‘𝐶) = (ℑ‘0))
53 im0 13937 . . . . . . 7 (ℑ‘0) = 0
5452, 53syl6eq 2701 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → (ℑ‘𝐶) = 0)
5554mpteq2dva 4777 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ (ℑ‘𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0))
5651, 55syl5eq 2697 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0))
5756, 41eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ↾ (𝐵𝐴)) ∈ MblFn)
5846, 49, 57, 6mbfres2 23457 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
5917ismbfcn2 23451 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐵 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
6043, 58, 59mpbir2and 977 1 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ∖ cdif 3604   ∪ cun 3605   ⊆ wss 3607  {csn 4210   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141  dom cdm 5143   ↾ cres 5145  ‘cfv 5926  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  ℜcre 13881  ℑcim 13882  volcvol 23278  MblFncmbf 23428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-xmet 19787  df-met 19788  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433 This theorem is referenced by:  mbfi1flim  23535  itg2cnlem1  23573  iblss2  23617  ibladdlem  23631  itgaddlem1  23634  iblabslem  23639  itggt0  23653  itgcn  23654  ibladdnclem  33596  itgaddnclem1  33598  iblabsnclem  33603  ftc1anclem5  33619  ftc1anclem6  33620  ftc1anclem8  33622
 Copyright terms: Public domain W3C validator