Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfresmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfresmf 41269
 Description: A Real valued, measurable function is a sigma-measurable function (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfresmf.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfresmf.2 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
mbfresmf.3 𝑆 = dom vol
Assertion
Ref Expression
mbfresmf (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem mbfresmf
Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1883 . 2 𝑎𝜑
2 mbfresmf.3 . . . 4 𝑆 = dom vol
32a1i 11 . . 3 (𝜑𝑆 = dom vol)
4 dmvolsal 40882 . . . 4 dom vol ∈ SAlg
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → dom vol ∈ SAlg)
63, 5eqeltrd 2730 . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
7 mbfresmf.1 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
8 mbfdmssre 40535 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
102unieqi 4477 . . . 4 𝑆 = dom vol
11 unidmvol 23355 . . . 4 dom vol = ℝ
1210, 11eqtri 2673 . . 3 𝑆 = ℝ
139, 12syl6sseqr 3685 . 2 (𝜑 → dom 𝐹 𝑆)
14 mbff 23439 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
15 ffn 6083 . . . . 5 (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → 𝐹 Fn dom 𝐹)
167, 14, 153syl 18 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn dom 𝐹)
17 mbfresmf.2 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
1816, 17jca 553 . . 3 (𝜑 → (𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
19 df-f 5930 . . 3 (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ↔ (𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ ℝ))
2018, 19sylibr 224 . 2 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
2120adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
22 rexr 10123 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
2322adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
2421, 23preimaioomnf 41250 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎})
2524eqcomd 2657 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)))
264elexi 3244 . . . . . 6 dom vol ∈ V
272, 26eqeltri 2726 . . . . 5 𝑆 ∈ V
2827a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ V)
297dmexd 39736 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
3029adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → dom 𝐹 ∈ V)
31 mbfima 23444 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ dom vol)
327, 20, 31syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ dom vol)
3332, 3eleqtrrd 2733 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ 𝑆)
3433adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ 𝑆)
35 cnvimass 5520 . . . . 5 (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ⊆ dom 𝐹
36 dfss 3622 . . . . . 6 ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ⊆ dom 𝐹 ↔ (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ dom 𝐹))
3736biimpi 206 . . . . 5 ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ⊆ dom 𝐹 → (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ dom 𝐹))
3835, 37ax-mp 5 . . . 4 (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) = ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ dom 𝐹)
3928, 30, 34, 38elrestd 39605 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝑆t dom 𝐹))
4025, 39eqeltrd 2730 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹))
411, 6, 13, 20, 40issmfd 41265 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {crab 2945  Vcvv 3231   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∪ cuni 4468   class class class wbr 4685  ◡ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144   “ cima 5146   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  -∞cmnf 10110  ℝ*cxr 10111   < clt 10112  (,)cioo 12213   ↾t crest 16128  volcvol 23278  MblFncmbf 23428  SAlgcsalg 40846  SMblFncsmblfn 41230 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-rest 16130  df-xmet 19787  df-met 19788  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-salg 40847  df-smblfn 41231 This theorem is referenced by:  mbfpsssmf  41312
 Copyright terms: Public domain W3C validator