MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfposr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfposr 23618
Description: Converse to mbfpos 23617. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfpos.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
mbfposr.2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
mbfposr.3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfposr (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mbfposr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfpos.1 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 eqid 2760 . . 3 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
31, 2fmptd 6548 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ)
4 mbfposr.2 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
5 0re 10232 . . . 4 0 ∈ ℝ
6 ifcl 4274 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
71, 5, 6sylancl 697 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
84, 7mbfdm2 23604 . 2 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
9 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 < 0)
10 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
1110lt0neg1d 10789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < 0 ↔ 0 < -𝑦))
129, 11mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → 0 < -𝑦)
1312biantrurd 530 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝐵 < -𝑦 ↔ (0 < -𝑦 ∧ -𝐵 < -𝑦)))
14 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → 𝜑)
1514, 1sylan 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
1610, 15ltnegd 10797 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝑦))
17 0red 10233 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ∈ ℝ)
1815renegcld 10649 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
1910renegcld 10649 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ)
20 maxlt 12217 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ ℝ) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦 ↔ (0 < -𝑦 ∧ -𝐵 < -𝑦)))
2117, 18, 19, 20syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦 ↔ (0 < -𝑦 ∧ -𝐵 < -𝑦)))
2213, 16, 213bitr4rd 301 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦𝑦 < 𝐵))
231renegcld 10649 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
24 ifcl 4274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ)
2523, 5, 24sylancl 697 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ)
2614, 25sylan 489 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ)
2726biantrurd 530 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦 ↔ (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦)))
2815biantrurd 530 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
2922, 27, 283bitr3d 298 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → ((if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
3019rexrd 10281 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ*)
31 elioomnf 12461 . . . . . . . . . . 11 (-𝑦 ∈ ℝ* → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦)))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) < -𝑦)))
3310rexrd 10281 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
34 elioopnf 12460 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
3629, 32, 353bitr4d 300 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ 𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞)))
37 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
38 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
3938fvmpt2 6453 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) = if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
4037, 25, 39syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) = if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
4140eleq1d 2824 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦)))
4214, 41sylan 489 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-∞(,)-𝑦)))
432fvmpt2 6453 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
4437, 1, 43syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
4544eleq1d 2824 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞)))
4614, 45sylan 489 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞)))
4736, 42, 463bitr4d 300 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦) ↔ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞)))
4847pm5.32da 676 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → ((𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
4925, 38fmptd 6548 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ)
50 ffn 6206 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) Fn 𝐴)
51 elpreima 6500 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦))))
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦))))
5352ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)-𝑦))))
54 ffn 6206 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ → (𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴)
55 elpreima 6500 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
563, 54, 553syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
5756ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
5848, 53, 573bitr4d 300 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))))
5958alrimiv 2004 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))))
60 nfmpt1 4899 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
6160nfcnv 5456 . . . . . . 7 𝑥(𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
62 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑥(-∞(,)-𝑦)
6361, 62nfima 5632 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦))
64 nfmpt1 4899 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
6564nfcnv 5456 . . . . . . 7 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
66 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑥(𝑦(,)+∞)
6765, 66nfima 5632 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))
6863, 67cleqf 2928 . . . . 5 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))))
6959, 68sylibr 224 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)))
70 mbfposr.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ MblFn)
71 mbfima 23598 . . . . . 6 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol)
7270, 49, 71syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol)
7372ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-∞(,)-𝑦)) ∈ dom vol)
7469, 73eqeltrrd 2840 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 < 0) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
75 0red 10233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ∈ ℝ)
76 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → 𝜑)
7776, 1sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
78 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
79 maxle 12215 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ≤ 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦𝐵𝑦)))
8075, 77, 78, 79syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ≤ 𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦𝐵𝑦)))
81 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝑦)
8281biantrurd 530 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵𝑦 ↔ (0 ≤ 𝑦𝐵𝑦)))
8380, 82bitr4d 271 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ≤ 𝑦𝐵𝑦))
8483notbid 307 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝐵𝑦))
8577, 5, 6sylancl 697 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
8678, 85ltnled 10376 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ↔ ¬ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ≤ 𝑦))
8778, 77ltnled 10376 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝑦))
8884, 86, 873bitr4d 300 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ↔ 𝑦 < 𝐵))
8985biantrurd 530 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ↔ (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))))
9077biantrurd 530 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 < 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
9188, 89, 903bitr3d 298 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → ((if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
9278rexrd 10281 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
93 elioopnf 12460 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))))
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))))
9592, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐵)))
9691, 94, 953bitr4d 300 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞)))
97 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
9897fvmpt2 6453 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) = if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
9937, 7, 98syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) = if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
10099eleq1d 2824 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (𝑦(,)+∞)))
10176, 100sylan 489 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (𝑦(,)+∞)))
10276, 45sylan 489 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝐵 ∈ (𝑦(,)+∞)))
10396, 101, 1023bitr4d 300 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞)))
104103pm5.32da 676 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → ((𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
1057, 97fmptd 6548 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ)
106 ffn 6206 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) Fn 𝐴)
107 elpreima 6500 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
108105, 106, 1073syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
109108ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
11056ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
111104, 109, 1103bitr4d 300 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))))
112111alrimiv 2004 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))))
113 nfmpt1 4899 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
114113nfcnv 5456 . . . . . . 7 𝑥(𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
115114, 66nfima 5632 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞))
116115, 67cleqf 2928 . . . . 5 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞))))
117112, 116sylibr 224 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)))
118 mbfima 23598 . . . . . 6 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
1194, 105, 118syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
120119ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
121117, 120eqeltrrd 2840 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝑦) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
122 simpr 479 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
123 0red 10233 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
12474, 121, 122, 123ltlecasei 10337 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
125 0red 10233 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ∈ ℝ)
126 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → 𝜑)
127126, 1sylan 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
128 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
129 maxlt 12217 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦 ↔ (0 < 𝑦𝐵 < 𝑦)))
130125, 127, 128, 129syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦 ↔ (0 < 𝑦𝐵 < 𝑦)))
131 simplr 809 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 0 < 𝑦)
132131biantrurd 530 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 < 𝑦 ↔ (0 < 𝑦𝐵 < 𝑦)))
133130, 132bitr4d 271 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦𝐵 < 𝑦))
134126, 7sylan 489 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
135134biantrurd 530 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦 ↔ (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦)))
136127biantrurd 530 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 < 𝑦 ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
137133, 135, 1363bitr3d 298 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → ((if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
138128rexrd 10281 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
139 elioomnf 12461 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦)))
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) < 𝑦)))
141 elioomnf 12461 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
142138, 141syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
143137, 140, 1423bitr4d 300 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ 𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦)))
14499eleq1d 2824 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (-∞(,)𝑦)))
145126, 144sylan 489 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ (-∞(,)𝑦)))
14644eleq1d 2824 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ 𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦)))
147126, 146sylan 489 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ 𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦)))
148143, 145, 1473bitr4d 300 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦)))
149148pm5.32da 676 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → ((𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
150 elpreima 6500 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
151105, 106, 1503syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
152151ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
153 elpreima 6500 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐵) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
1543, 54, 1533syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
155154ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
156149, 152, 1553bitr4d 300 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))))
157156alrimiv 2004 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))))
158 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑥(-∞(,)𝑦)
159114, 158nfima 5632 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦))
16065, 158nfima 5632 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))
161159, 160cleqf 2928 . . . . 5 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))))
162157, 161sylibr 224 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)))
163 mbfima 23598 . . . . . 6 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
1644, 105, 163syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
165164ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
166162, 165eqeltrrd 2840 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑦) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
167 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ≤ 0)
168 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
169168le0neg1d 10791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑦))
170167, 169mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ -𝑦)
171170biantrurd 530 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝐵 ≤ -𝑦 ↔ (0 ≤ -𝑦 ∧ -𝐵 ≤ -𝑦)))
172 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → 𝜑)
173172, 1sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
174168, 173lenegd 10798 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝑦))
175 0red 10233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ∈ ℝ)
176173renegcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
177168renegcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ)
178 maxle 12215 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ ℝ) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ≤ -𝑦 ↔ (0 ≤ -𝑦 ∧ -𝐵 ≤ -𝑦)))
179175, 176, 177, 178syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ≤ -𝑦 ↔ (0 ≤ -𝑦 ∧ -𝐵 ≤ -𝑦)))
180171, 174, 1793bitr4rd 301 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ≤ -𝑦𝑦𝐵))
181180notbid 307 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ≤ -𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝐵))
182172, 25sylan 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ)
183177, 182ltnled 10376 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ↔ ¬ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ≤ -𝑦))
184173, 168ltnled 10376 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝐵))
185181, 183, 1843bitr4d 300 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ↔ 𝐵 < 𝑦))
186182biantrurd 530 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ↔ (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))))
187173biantrurd 530 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 < 𝑦 ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
188185, 186, 1873bitr3d 298 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → ((if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
189177rexrd 10281 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ*)
190 elioopnf 12460 . . . . . . . . . . 11 (-𝑦 ∈ ℝ* → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))))
191189, 190syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ ∧ -𝑦 < if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))))
192168rexrd 10281 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
193192, 141syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝑦)))
194188, 191, 1933bitr4d 300 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ 𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦)))
19540eleq1d 2824 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞)))
196172, 195sylan 489 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ (-𝑦(,)+∞)))
197172, 146sylan 489 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ 𝐵 ∈ (-∞(,)𝑦)))
198194, 196, 1973bitr4d 300 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞) ↔ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦)))
199198pm5.32da 676 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → ((𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
200 elpreima 6500 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞))))
20149, 50, 2003syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞))))
202201ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))‘𝑥) ∈ (-𝑦(,)+∞))))
203154ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ∈ (-∞(,)𝑦))))
204199, 202, 2033bitr4d 300 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → (𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))))
205204alrimiv 2004 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))))
206 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑥(-𝑦(,)+∞)
20761, 206nfima 5632 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞))
208207, 160cleqf 2928 . . . . 5 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦))))
209205, 208sylibr 224 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) = ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)))
210 mbfima 23598 . . . . . 6 (((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)):𝐴⟶ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
21170, 49, 210syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
212211ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) “ (-𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
213209, 212eqeltrrd 2840 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ≤ 0) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
214166, 213, 123, 122ltlecasei 10337 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
2153, 8, 124, 214ismbf2d 23607 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  wal 1630   = wceq 1632  wcel 2139  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cmpt 4881  ccnv 5265  dom cdm 5266  cima 5269   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128  +∞cpnf 10263  -∞cmnf 10264  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  -cneg 10459  (,)cioo 12368  volcvol 23432  MblFncmbf 23582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xadd 12140  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-xmet 19941  df-met 19942  df-ovol 23433  df-vol 23434  df-mbf 23587
This theorem is referenced by:  mbfposb  23619
  Copyright terms: Public domain W3C validator