MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfneg 23587
Description: The negative of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfneg.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
mbfneg.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfneg (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mbfneg
StepHypRef Expression
1 eqid 2748 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
2 mbfneg.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
31, 2dmmptd 6173 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
4 mbfneg.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
5 dmexg 7250 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn → dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ V)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ V)
73, 6eqeltrrd 2828 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
8 neg1rr 11288 . . . . 5 -1 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → -1 ∈ ℝ)
10 fconstmpt 5308 . . . . 5 (𝐴 × {-1}) = (𝑥𝐴 ↦ -1)
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 × {-1}) = (𝑥𝐴 ↦ -1))
12 eqidd 2749 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
137, 9, 2, 11, 12offval2 7067 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 × {-1}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (-1 · 𝐵)))
144, 2mbfmptcl 23574 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1514mulm1d 10645 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
1615mpteq2dva 4884 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (-1 · 𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ -𝐵))
1713, 16eqtrd 2782 . 2 (𝜑 → ((𝐴 × {-1}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ -𝐵))
188a1i 11 . . 3 (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
1914, 1fmptd 6536 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
204, 18, 19mbfmulc2re 23585 . 2 (𝜑 → ((𝐴 × {-1}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn)
2117, 20eqeltrrd 2828 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  Vcvv 3328  {csn 4309  cmpt 4869   × cxp 5252  dom cdm 5254  (class class class)co 6801  𝑓 cof 7048  cc 10097  cr 10098  1c1 10100   · cmul 10104  -cneg 10430  MblFncmbf 23553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-xadd 12111  df-ioo 12343  df-ico 12345  df-icc 12346  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-seq 12967  df-exp 13026  df-hash 13283  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-clim 14389  df-sum 14587  df-xmet 19912  df-met 19913  df-ovol 23404  df-vol 23405  df-mbf 23558
This theorem is referenced by:  mbfposb  23590  mbfsub  23599  mbfinf  23602  mbfi1flimlem  23659  itgreval  23733  ibladd  23757  iblabslem  23764  ibladdnc  33749  itgaddnclem2  33751  itgmulc2nclem2  33759  ftc1anclem6  33772
  Copyright terms: Public domain W3C validator