Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmullem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmullem2 23536
 Description: Lemma for mbfmul 23538. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
mbfmul.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.4 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.5 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
mbfmul.6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
mbfmul.7 (𝜑𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
mbfmul.8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
mbfmullem2 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑃,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥

Proof of Theorem mbfmullem2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.3 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
2 ffn 6083 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐴)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
4 mbfmul.4 . . . 4 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
5 ffn 6083 . . . 4 (𝐺:𝐴⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝐴)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
7 fdm 6089 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
81, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
9 mbfmul.1 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
10 mbfdm 23440 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
128, 11eqeltrrd 2731 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
13 inidm 3855 . . 3 (𝐴𝐴) = 𝐴
14 eqidd 2652 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
15 eqidd 2652 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
163, 6, 12, 12, 13, 14, 15offval 6946 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) = (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
17 nnuz 11761 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
18 1zzd 11446 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
19 1zzd 11446 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 1 ∈ ℤ)
20 mbfmul.6 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
21 nnex 11064 . . . . . 6 ℕ ∈ V
2221mptex 6527 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ∈ V
2322a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ∈ V)
24 mbfmul.8 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
25 mbfmul.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
2625ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃𝑛) ∈ dom ∫1)
27 i1ff 23488 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑛) ∈ dom ∫1 → (𝑃𝑛):ℝ⟶ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃𝑛):ℝ⟶ℝ)
2928adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃𝑛):ℝ⟶ℝ)
30 mblss 23345 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
3112, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3231sselda 3636 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
3332adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
3429, 33ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
3534recnd 10106 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
36 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))
3735, 36fmptd 6425 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)):ℕ⟶ℂ)
3837ffvelrnda 6399 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))‘𝑘) ∈ ℂ)
39 mbfmul.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
4039ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄𝑛) ∈ dom ∫1)
41 i1ff 23488 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑛) ∈ dom ∫1 → (𝑄𝑛):ℝ⟶ℝ)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄𝑛):ℝ⟶ℝ)
4342adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄𝑛):ℝ⟶ℝ)
4443, 33ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑄𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
4544recnd 10106 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑄𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
46 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))
4745, 46fmptd 6425 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)):ℕ⟶ℂ)
4847ffvelrnda 6399 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))‘𝑘) ∈ ℂ)
49 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑘))
5049fveq1d 6231 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃𝑛)‘𝑥) = ((𝑃𝑘)‘𝑥))
51 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝑄𝑛) = (𝑄𝑘))
5251fveq1d 6231 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑄𝑛)‘𝑥) = ((𝑄𝑘)‘𝑥))
5350, 52oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)) = (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)))
54 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)))
55 ovex 6718 . . . . . . 7 (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)) ∈ V
5653, 54, 55fvmpt 6321 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)))
5756adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)))
58 fvex 6239 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑘)‘𝑥) ∈ V
5950, 36, 58fvmpt 6321 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))‘𝑘) = ((𝑃𝑘)‘𝑥))
60 fvex 6239 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑘)‘𝑥) ∈ V
6152, 46, 60fvmpt 6321 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))‘𝑘) = ((𝑄𝑘)‘𝑥))
6259, 61oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))‘𝑘)) = (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)))
6362adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))‘𝑘)) = (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)))
6457, 63eqtr4d 2688 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))‘𝑘)))
6517, 19, 20, 23, 24, 38, 48, 64climmul 14407 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ⇝ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
6631adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6766resmptd 5487 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴 ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))))
68 ffn 6083 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑛):ℝ⟶ℝ → (𝑃𝑛) Fn ℝ)
6928, 68syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃𝑛) Fn ℝ)
70 ffn 6083 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑛):ℝ⟶ℝ → (𝑄𝑛) Fn ℝ)
7142, 70syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄𝑛) Fn ℝ)
72 reex 10065 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
7372a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
74 inidm 3855 . . . . . . 7 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
75 eqidd 2652 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑛)‘𝑥) = ((𝑃𝑛)‘𝑥))
76 eqidd 2652 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑄𝑛)‘𝑥) = ((𝑄𝑛)‘𝑥))
7769, 71, 73, 73, 74, 75, 76offval 6946 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑛) ∘𝑓 · (𝑄𝑛)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))))
7826, 40i1fmul 23508 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑛) ∘𝑓 · (𝑄𝑛)) ∈ dom ∫1)
79 i1fmbf 23487 . . . . . . 7 (((𝑃𝑛) ∘𝑓 · (𝑄𝑛)) ∈ dom ∫1 → ((𝑃𝑛) ∘𝑓 · (𝑄𝑛)) ∈ MblFn)
8078, 79syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑛) ∘𝑓 · (𝑄𝑛)) ∈ MblFn)
8177, 80eqeltrrd 2731 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn)
8212adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ dom vol)
83 mbfres 23456 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
8481, 82, 83syl2anc 694 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
8567, 84eqeltrrd 2731 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥𝐴 ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn)
86 ovex 6718 . . . 4 (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ∈ V
8786a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐴)) → (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ∈ V)
8817, 18, 65, 85, 87mbflim 23480 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ MblFn)
8916, 88eqeltrd 2730 1 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  dom cdm 5143   ↾ cres 5145   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘𝑓 cof 6937  ℂcc 9972  ℝcr 9973  1c1 9975   · cmul 9979  ℕcn 11058   ⇝ cli 14259  volcvol 23278  MblFncmbf 23428  ∫1citg1 23429 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-xmet 19787  df-met 19788  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434 This theorem is referenced by:  mbfmullem  23537
 Copyright terms: Public domain W3C validator