MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmullem 23662
Description: Lemma for mbfmul 23663. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
mbfmul.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.4 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfmullem (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmullem
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
2 mbfmul.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
31, 2mbfi1flim 23660 . 2 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)))
4 mbfmul.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
5 mbfmul.4 . . 3 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
64, 5mbfi1flim 23660 . 2 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))
7 eeanv 2315 . . 3 (∃𝑓𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))) ↔ (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))))
81adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → 𝐹 ∈ MblFn)
94adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → 𝐺 ∈ MblFn)
102adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
115adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
12 simprll 821 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → 𝑓:ℕ⟶dom ∫1)
13 simprlr 822 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦))
14 fveq2 6340 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑓𝑛)‘𝑦) = ((𝑓𝑛)‘𝑥))
1514mpteq2dv 4885 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)))
16 fveq2 6340 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑚))
1716fveq1d 6342 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑓𝑛)‘𝑥) = ((𝑓𝑚)‘𝑥))
1817cbvmptv 4890 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑚)‘𝑥))
1915, 18syl6eq 2798 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑚)‘𝑥)))
20 fveq2 6340 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
2119, 20breq12d 4805 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)))
2221rspccva 3436 . . . . . . 7 ((∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
2313, 22sylan 489 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
24 simprrl 823 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → 𝑔:ℕ⟶dom ∫1)
25 simprrr 824 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))
26 fveq2 6340 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑔𝑛)‘𝑦) = ((𝑔𝑛)‘𝑥))
2726mpteq2dv 4885 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)))
28 fveq2 6340 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → (𝑔𝑛) = (𝑔𝑚))
2928fveq1d 6342 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑔𝑛)‘𝑥) = ((𝑔𝑚)‘𝑥))
3029cbvmptv 4890 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑚)‘𝑥))
3127, 30syl6eq 2798 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑚)‘𝑥)))
32 fveq2 6340 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑥))
3331, 32breq12d 4805 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))
3433rspccva 3436 . . . . . . 7 ((∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
3525, 34sylan 489 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
368, 9, 10, 11, 12, 23, 24, 35mbfmullem2 23661 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn)
3736ex 449 . . . 4 (𝜑 → (((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn))
3837exlimdvv 1999 . . 3 (𝜑 → (∃𝑓𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn))
397, 38syl5bir 233 . 2 (𝜑 → ((∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn))
403, 6, 39mp2and 717 1 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wex 1841  wcel 2127  wral 3038   class class class wbr 4792  cmpt 4869  dom cdm 5254  wf 6033  cfv 6037  (class class class)co 6801  𝑓 cof 7048  cr 10098   · cmul 10104  cn 11183  cli 14385  MblFncmbf 23553  1citg1 23554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cc 9420  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-disj 4761  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-ofr 7051  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fi 8470  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-acn 8929  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-xneg 12110  df-xadd 12111  df-xmul 12112  df-ioo 12343  df-ioc 12344  df-ico 12345  df-icc 12346  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-seq 12967  df-exp 13026  df-hash 13283  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-limsup 14372  df-clim 14389  df-rlim 14390  df-sum 14587  df-rest 16256  df-topgen 16277  df-psmet 19911  df-xmet 19912  df-met 19913  df-bl 19914  df-mopn 19915  df-top 20872  df-topon 20889  df-bases 20923  df-cmp 21363  df-ovol 23404  df-vol 23405  df-mbf 23558  df-itg1 23559  df-0p 23607
This theorem is referenced by:  mbfmul  23663
  Copyright terms: Public domain W3C validator