Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmulc2re Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmulc2re 23635
 Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2re.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfmulc2re.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
mbfmulc2re.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2re (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmulc2re
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmulc2re.3 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
2 fdm 6213 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
4 mbfmulc2re.1 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
5 dmexg 7264 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ V)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
73, 6eqeltrrd 2841 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ V)
8 mbfmulc2re.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
98adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
101ffvelrnda 6524 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
11 fconstmpt 5321 . . . 4 (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥𝐴𝐵)
1211a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥𝐴𝐵))
131feqmptd 6413 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
147, 9, 10, 12, 13offval2 7081 . 2 (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑥))))
159, 10remul2d 14187 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 · (𝐹𝑥))) = (𝐵 · (ℜ‘(𝐹𝑥))))
1615mpteq2dva 4897 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹𝑥)))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (ℜ‘(𝐹𝑥)))))
1710recld 14154 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
18 eqidd 2762 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))))
197, 9, 17, 12, 18offval2 7081 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥)))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (ℜ‘(𝐹𝑥)))))
2016, 19eqtr4d 2798 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹𝑥)))) = ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥)))))
2113, 4eqeltrrd 2841 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn)
2210ismbfcn2 23626 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)))
2321, 22mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn))
2423simpld 477 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
25 eqid 2761 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥)))
2617, 25fmptd 6550 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))):𝐴⟶ℝ)
2724, 8, 26mbfmulc2lem 23634 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥)))) ∈ MblFn)
2820, 27eqeltrd 2840 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹𝑥)))) ∈ MblFn)
299, 10immul2d 14188 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘(𝐵 · (𝐹𝑥))) = (𝐵 · (ℑ‘(𝐹𝑥))))
3029mpteq2dva 4897 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹𝑥)))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (ℑ‘(𝐹𝑥)))))
3110imcld 14155 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
32 eqidd 2762 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))))
337, 9, 31, 12, 32offval2 7081 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥)))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (ℑ‘(𝐹𝑥)))))
3430, 33eqtr4d 2798 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹𝑥)))) = ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥)))))
3523simprd 482 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
36 eqid 2761 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥)))
3731, 36fmptd 6550 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))):𝐴⟶ℝ)
3835, 8, 37mbfmulc2lem 23634 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥)))) ∈ MblFn)
3934, 38eqeltrd 2840 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹𝑥)))) ∈ MblFn)
408recnd 10281 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4140adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4241, 10mulcld 10273 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 · (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
4342ismbfcn2 23626 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑥))) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 · (𝐹𝑥)))) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 · (𝐹𝑥)))) ∈ MblFn)))
4428, 39, 43mpbir2and 995 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
4514, 44eqeltrd 2840 1 (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  Vcvv 3341  {csn 4322   ↦ cmpt 4882   × cxp 5265  dom cdm 5267  ⟶wf 6046  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815   ∘𝑓 cof 7062  ℂcc 10147  ℝcr 10148   · cmul 10154  ℜcre 14057  ℑcim 14058  MblFncmbf 23603 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-q 12003  df-rp 12047  df-xadd 12161  df-ioo 12393  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-seq 13017  df-exp 13076  df-hash 13333  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-clim 14439  df-sum 14637  df-xmet 19962  df-met 19963  df-ovol 23454  df-vol 23455  df-mbf 23608 This theorem is referenced by:  mbfneg  23637  mbfmulc2  23650  itgmulc2nclem2  33809  itgmulc2nc  33810  itgabsnc  33811
 Copyright terms: Public domain W3C validator