MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmulc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmulc2 23650
Description: A complex constant times a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2.1 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
mbfmulc2.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
mbfmulc2.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfmulc2
StepHypRef Expression
1 mbfmulc2.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
2 mbfmulc2.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
31, 2mbfdm2 23625 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
4 mbfmulc2.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
54recld 14142 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
65adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
76recnd 10274 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℂ)
81, 2mbfmptcl 23624 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
98recld 14142 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
109recnd 10274 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
117, 10mulcld 10266 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
12 ovexd 6829 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ V)
13 fconstmpt 5302 . . . . . . 7 (𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶))
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)))
15 eqidd 2772 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))
163, 6, 9, 14, 15offval2 7065 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
174imcld 14143 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
1817renegcld 10663 . . . . . . 7 (𝜑 → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
1918adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
208imcld 14143 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
21 fconstmpt 5302 . . . . . . 7 (𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐶))
2221a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐶)))
23 eqidd 2772 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))
243, 19, 20, 22, 23offval2 7065 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
253, 11, 12, 16, 24offval2 7065 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∘𝑓 + ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))) = (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))))
2617adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
2726recnd 10274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
2820recnd 10274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
2927, 28mulcld 10266 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
3011, 29negsubd 10604 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
3127, 28mulneg1d 10689 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) = -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))
3231oveq2d 6812 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
334adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
3433, 8remuld 14166 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
3530, 32, 343eqtr4d 2815 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (ℜ‘(𝐶 · 𝐵)))
3635mpteq2dva 4879 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))))
3725, 36eqtrd 2805 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∘𝑓 + ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))))
388ismbfcn2 23626 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
391, 38mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn))
4039simpld 482 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
4110fmpttd 6530 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
4240, 5, 41mbfmulc2re 23635 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
4339simprd 483 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
4428fmpttd 6530 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
4543, 18, 44mbfmulc2re 23635 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
4642, 45mbfadd 23648 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∘𝑓 + ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))) ∈ MblFn)
4737, 46eqeltrrd 2851 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)
48 ovexd 6829 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ V)
49 ovexd 6829 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) ∈ V)
503, 6, 20, 14, 23offval2 7065 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
51 fconstmpt 5302 . . . . . . 7 (𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶))
5251a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)))
533, 26, 9, 52, 15offval2 7065 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
543, 48, 49, 50, 53offval2 7065 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∘𝑓 + ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))) = (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)))))
5533, 8immuld 14167 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
5655mpteq2dva 4879 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)))))
5754, 56eqtr4d 2808 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∘𝑓 + ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))))
5843, 5, 44mbfmulc2re 23635 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
5940, 17, 41mbfmulc2re 23635 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
6058, 59mbfadd 23648 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∘𝑓 + ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))) ∈ MblFn)
6157, 60eqeltrrd 2851 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)
6233, 8mulcld 10266 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
6362ismbfcn2 23626 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)))
6447, 61, 63mpbir2and 692 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  {csn 4317  cmpt 4864   × cxp 5248  dom cdm 5250  cfv 6030  (class class class)co 6796  𝑓 cof 7046  cc 10140  cr 10141   + caddc 10145   · cmul 10147  cmin 10472  -cneg 10473  cre 14045  cim 14046  volcvol 23451  MblFncmbf 23602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cc 9463  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-disj 4756  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-acn 8972  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xadd 12152  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-xmet 19954  df-met 19955  df-ovol 23452  df-vol 23453  df-mbf 23607
This theorem is referenced by:  iblmulc2  23817
  Copyright terms: Public domain W3C validator