Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmul 23538
 Description: The product of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfmul (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmul
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.1 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
2 mbff 23439 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
4 ffn 6083 . . . 4 (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → 𝐹 Fn dom 𝐹)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝐹 Fn dom 𝐹)
6 mbfmul.2 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
7 mbff 23439 . . . . 5 (𝐺 ∈ MblFn → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
9 ffn 6083 . . . 4 (𝐺:dom 𝐺⟶ℂ → 𝐺 Fn dom 𝐺)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 Fn dom 𝐺)
11 mbfdm 23440 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
121, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
13 mbfdm 23440 . . . 4 (𝐺 ∈ MblFn → dom 𝐺 ∈ dom vol)
146, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ dom vol)
15 eqid 2651 . . 3 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
16 eqidd 2652 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
17 eqidd 2652 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
185, 10, 12, 14, 15, 16, 17offval 6946 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
19 elin 3829 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐺))
2019simplbi 475 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
21 ffvelrn 6397 . . . . . . . 8 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
223, 20, 21syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
2319simprbi 479 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
24 ffvelrn 6397 . . . . . . . 8 ((𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
258, 23, 24syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
2622, 25remuld 14002 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℜ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) = (((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥))) − ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥)))))
2726mpteq2dva 4777 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥))) − ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥))))))
28 inmbl 23356 . . . . . . 7 ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ dom 𝐺 ∈ dom vol) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
2912, 14, 28syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
30 ovexd 6720 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥))) ∈ V)
31 ovexd 6720 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥))) ∈ V)
3222recld 13978 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℜ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
3325recld 13978 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℜ‘(𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
34 eqidd 2652 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))))
35 eqidd 2652 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))))
3629, 32, 33, 34, 35offval2 6956 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥)))))
3722imcld 13979 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℑ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
3825imcld 13979 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℑ‘(𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
39 eqidd 2652 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))))
40 eqidd 2652 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))))
4129, 37, 38, 39, 40offval2 6956 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥)))))
4229, 30, 31, 36, 41offval2 6956 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥)))) ∘𝑓 − ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥))) − ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥))))))
4327, 42eqtr4d 2688 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) = (((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥)))) ∘𝑓 − ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))))))
44 inss1 3866 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹
45 resmpt 5484 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)))
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥))
473feqmptd 6288 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)))
4847, 1eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn)
49 mbfres 23456 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
5048, 29, 49syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
5146, 50syl5eqelr 2735 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn)
5222ismbfcn2 23451 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)))
5351, 52mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn))
5453simpld 474 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
55 inss2 3867 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺
56 resmpt 5484 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺𝑥)))
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺𝑥))
588feqmptd 6288 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)))
5958, 6eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ MblFn)
60 mbfres 23456 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
6159, 29, 60syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
6257, 61syl5eqelr 2735 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ MblFn)
6325ismbfcn2 23451 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))) ∈ MblFn)))
6462, 63mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))) ∈ MblFn))
6564simpld 474 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))) ∈ MblFn)
66 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥)))
6732, 66fmptd 6425 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
68 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥)))
6933, 68fmptd 6425 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
7054, 65, 67, 69mbfmullem 23537 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥)))) ∈ MblFn)
7153simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
7264simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))) ∈ MblFn)
73 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥)))
7437, 73fmptd 6425 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
75 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥)))
7638, 75fmptd 6425 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
7771, 72, 74, 76mbfmullem 23537 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥)))) ∈ MblFn)
7870, 77mbfsub 23474 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥)))) ∘𝑓 − ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))))) ∈ MblFn)
7943, 78eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) ∈ MblFn)
8022, 25immuld 14003 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℑ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) = (((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥))) + ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥)))))
8180mpteq2dva 4777 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥))) + ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥))))))
82 ovexd 6720 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥))) ∈ V)
83 ovexd 6720 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥))) ∈ V)
8429, 32, 38, 34, 40offval2 6956 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥)))))
8529, 37, 33, 39, 35offval2 6956 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥)))))
8629, 82, 83, 84, 85offval2 6956 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥)))) ∘𝑓 + ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥))) + ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥))))))
8781, 86eqtr4d 2688 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) = (((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥)))) ∘𝑓 + ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))))))
8854, 72, 67, 76mbfmullem 23537 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥)))) ∈ MblFn)
8971, 65, 74, 69mbfmullem 23537 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥)))) ∈ MblFn)
9088, 89mbfadd 23473 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥)))) ∘𝑓 + ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))))) ∈ MblFn)
9187, 90eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) ∈ MblFn)
9222, 25mulcld 10098 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
9392ismbfcn2 23451 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) ∈ MblFn)))
9479, 91, 93mpbir2and 977 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ MblFn)
9518, 94eqeltrd 2730 1 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607   ↦ cmpt 4762  dom cdm 5143   ↾ cres 5145   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘𝑓 cof 6937  ℂcc 9972  ℝcr 9973   + caddc 9977   · cmul 9979   − cmin 10304  ℜcre 13881  ℑcim 13882  volcvol 23278  MblFncmbf 23428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cmp 21238  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-0p 23482 This theorem is referenced by:  bddmulibl  23650
 Copyright terms: Public domain W3C validator