MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmptcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmptcl 23623
Description: Lemma for the MblFn predicate applied to a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmptcl.1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
mbfmptcl.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
Assertion
Ref Expression
mbfmptcl ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfmptcl
StepHypRef Expression
1 mbfmptcl.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
2 mbff 23613 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ)
4 mbfmptcl.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
54ralrimiva 3104 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
6 dmmptg 5793 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
87feq2d 6192 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ))
93, 8mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
10 eqid 2760 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
1110fmpt 6545 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
129, 11sylibr 224 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
1312r19.21bi 3070 1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  cmpt 4881  dom cdm 5266  wf 6045  cc 10146  MblFncmbf 23602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-pm 8028  df-mbf 23607
This theorem is referenced by:  mbfss  23632  mbfneg  23636  mbfmulc2  23649  mbflim  23654  itgcnlem  23775  itgcnval  23785  itgre  23786  itgim  23787  iblneg  23788  itgneg  23789  iblss  23790  iblss2  23791  ibladd  23806  iblsub  23807  itgadd  23810  itgsub  23811  itgfsum  23812  iblabs  23814  iblabsr  23815  iblmulc2  23816  itgmulc2  23819  itgabs  23820  itgsplit  23821  bddmulibl  23824  itgcn  23828  ditgswap  23842  ditgsplitlem  23843  ftc1a  24019  ibladdnc  33798  itgaddnc  33801  iblsubnc  33802  itgsubnc  33803  iblabsnc  33805  iblmulc2nc  33806  itgmulc2nc  33809  itgabsnc  33810
  Copyright terms: Public domain W3C validator