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Theorem mbflimsup 23478
Description: The limit supremum of a sequence of measurable real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflimsup.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
mbflimsup.2 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)))
mbflimsup.h 𝐻 = (𝑚 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑛𝑍𝐵) “ (𝑚[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
mbflimsup.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
mbflimsup.4 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∈ ℝ)
mbflimsup.5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
mbflimsup.6 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbflimsup (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐵,𝑚   𝜑,𝑛,𝑥   𝑚,𝑀   𝑚,𝑛,𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐴(𝑚)   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem mbflimsup
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflimsup.2 . . 3 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)))
2 mbflimsup.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑚 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑛𝑍𝐵) “ (𝑚[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3 mbflimsup.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ∈ V
53, 4eqeltri 2726 . . . . . . . 8 𝑍 ∈ V
65mptex 6527 . . . . . . 7 (𝑛𝑍𝐵) ∈ V
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) ∈ V)
8 uzssz 11745 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
93, 8eqsstri 3668 . . . . . . . 8 𝑍 ⊆ ℤ
10 zssre 11422 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℝ
119, 10sstri 3645 . . . . . . 7 𝑍 ⊆ ℝ
1211a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑍 ⊆ ℝ)
13 mbflimsup.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
143uzsup 12702 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
1615adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
172, 7, 12, 16limsupval2 14255 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) = inf((𝐻𝑍), ℝ*, < ))
18 imassrn 5512 . . . . . . 7 (𝐻𝑍) ⊆ ran 𝐻
1913adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
20 mbflimsup.6 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
2120anass1rs 866 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
22 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍𝐵) = (𝑛𝑍𝐵)
2321, 22fmptd 6425 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ)
24 mbflimsup.4 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∈ ℝ)
2524ltpnfd 11993 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) < +∞)
262, 3limsupgre 14256 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) < +∞) → 𝐻:ℝ⟶ℝ)
2719, 23, 25, 26syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐻:ℝ⟶ℝ)
28 frn 6091 . . . . . . . 8 (𝐻:ℝ⟶ℝ → ran 𝐻 ⊆ ℝ)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ran 𝐻 ⊆ ℝ)
3018, 29syl5ss 3647 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑍) ⊆ ℝ)
31 fdm 6089 . . . . . . . . . . 11 (𝐻:ℝ⟶ℝ → dom 𝐻 = ℝ)
3227, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → dom 𝐻 = ℝ)
3332ineq1d 3846 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (dom 𝐻𝑍) = (ℝ ∩ 𝑍))
34 sseqin2 3850 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ 𝑍) = 𝑍)
3511, 34mpbi 220 . . . . . . . . 9 (ℝ ∩ 𝑍) = 𝑍
3633, 35syl6eq 2701 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (dom 𝐻𝑍) = 𝑍)
37 uzid 11740 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
3813, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
3938, 3syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀𝑍)
4039adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀𝑍)
41 ne0i 3954 . . . . . . . . 9 (𝑀𝑍𝑍 ≠ ∅)
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑍 ≠ ∅)
4336, 42eqnetrd 2890 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (dom 𝐻𝑍) ≠ ∅)
44 imadisj 5519 . . . . . . . 8 ((𝐻𝑍) = ∅ ↔ (dom 𝐻𝑍) = ∅)
4544necon3bii 2875 . . . . . . 7 ((𝐻𝑍) ≠ ∅ ↔ (dom 𝐻𝑍) ≠ ∅)
4643, 45sylibr 224 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑍) ≠ ∅)
4724leidd 10632 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)))
4821rexrd 10127 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4948, 22fmptd 6425 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ*)
5024rexrd 10127 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∈ ℝ*)
512limsuple 14253 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 ⊆ ℝ ∧ (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ* ∧ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∈ ℝ*) → ((lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦)))
5212, 49, 50, 51syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ((lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦)))
5347, 52mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦))
54 ssralv 3699 . . . . . . . . 9 (𝑍 ⊆ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦) → ∀𝑦𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦)))
5511, 53, 54mpsyl 68 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑦𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦))
562limsupgf 14250 . . . . . . . . . 10 𝐻:ℝ⟶ℝ*
57 ffn 6083 . . . . . . . . . 10 (𝐻:ℝ⟶ℝ*𝐻 Fn ℝ)
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝐻 Fn ℝ
59 breq2 4689 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝐻𝑦) → ((lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ 𝑧 ↔ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦)))
6059ralima 6538 . . . . . . . . 9 ((𝐻 Fn ℝ ∧ 𝑍 ⊆ ℝ) → (∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)(lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑦𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦)))
6158, 12, 60sylancr 696 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)(lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑦𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑦)))
6255, 61mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)(lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ 𝑧)
63 breq1 4688 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) → (𝑦𝑧 ↔ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ 𝑧))
6463ralbidv 3015 . . . . . . . 8 (𝑦 = (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) → (∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)𝑦𝑧 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)(lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ 𝑧))
6564rspcev 3340 . . . . . . 7 (((lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)(lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)𝑦𝑧)
6624, 62, 65syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)𝑦𝑧)
67 infxrre 12204 . . . . . 6 (((𝐻𝑍) ⊆ ℝ ∧ (𝐻𝑍) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐻𝑍)𝑦𝑧) → inf((𝐻𝑍), ℝ*, < ) = inf((𝐻𝑍), ℝ, < ))
6830, 46, 66, 67syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → inf((𝐻𝑍), ℝ*, < ) = inf((𝐻𝑍), ℝ, < ))
69 df-ima 5156 . . . . . . 7 (𝐻𝑍) = ran (𝐻𝑍)
7027feqmptd 6288 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐻 = (𝑖 ∈ ℝ ↦ (𝐻𝑖)))
7170reseq1d 5427 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑍) = ((𝑖 ∈ ℝ ↦ (𝐻𝑖)) ↾ 𝑍))
72 resmpt 5484 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 ⊆ ℝ → ((𝑖 ∈ ℝ ↦ (𝐻𝑖)) ↾ 𝑍) = (𝑖𝑍 ↦ (𝐻𝑖)))
7311, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ ℝ ↦ (𝐻𝑖)) ↾ 𝑍) = (𝑖𝑍 ↦ (𝐻𝑖))
7471, 73syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑍) = (𝑖𝑍 ↦ (𝐻𝑖)))
7511sseli 3632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖𝑍𝑖 ∈ ℝ)
76 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐻:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝐻𝑖) ∈ ℝ)
7727, 75, 76syl2an 493 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐻𝑖) ∈ ℝ)
7877rexrd 10127 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐻𝑖) ∈ ℝ*)
79 simplll 813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝜑)
803uztrn2 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑛𝑍)
8180adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑛𝑍)
82 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑥𝐴)
8379, 81, 82, 20syl12anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝐵 ∈ ℝ)
84 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)
8583, 84fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵):(ℤ𝑖)⟶ℝ)
86 frn 6091 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵):(ℤ𝑖)⟶ℝ → ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
8884, 83dmmptd 6062 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → dom (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) = (ℤ𝑖))
89 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖𝑍)
9089, 3syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
91 eluzelz 11735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ ℤ)
9392adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ ℤ)
94 uzid 11740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ (ℤ𝑖))
95 ne0i 3954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (ℤ𝑖) → (ℤ𝑖) ≠ ∅)
9693, 94, 953syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (ℤ𝑖) ≠ ∅)
9788, 96eqnetrd 2890 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → dom (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ≠ ∅)
98 dm0rn0 5374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) = ∅ ↔ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) = ∅)
9998necon3bii 2875 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ≠ ∅ ↔ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ≠ ∅)
10097, 99sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ≠ ∅)
10190adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
102 uzss 11746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑖) ⊆ (ℤ𝑀))
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (ℤ𝑖) ⊆ (ℤ𝑀))
104103, 3syl6sseqr 3685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (ℤ𝑖) ⊆ 𝑍)
10577leidd 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐻𝑖) ≤ (𝐻𝑖))
10611a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑍 ⊆ ℝ)
10749adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ*)
108 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖𝑍)
10911, 108sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ ℝ)
1102limsupgle 14252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑍 ⊆ ℝ ∧ (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ*) ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝐻𝑖) ∈ ℝ*) → ((𝐻𝑖) ≤ (𝐻𝑖) ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖))))
111106, 107, 109, 78, 110syl211anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ((𝐻𝑖) ≤ (𝐻𝑖) ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖))))
112105, 111mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ∀𝑘𝑍 (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖)))
113 ssralv 3699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℤ𝑖) ⊆ 𝑍 → (∀𝑘𝑍 (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)(𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖))))
114104, 112, 113sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)(𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖)))
115104adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (ℤ𝑖) ⊆ 𝑍)
116115resmptd 5487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝑛𝑍𝐵) ↾ (ℤ𝑖)) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵))
117116fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (((𝑛𝑍𝐵) ↾ (ℤ𝑖))‘𝑘) = ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘))
118 fvres 6245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (ℤ𝑖) → (((𝑛𝑍𝐵) ↾ (ℤ𝑖))‘𝑘) = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
119118adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (((𝑛𝑍𝐵) ↾ (ℤ𝑖))‘𝑘) = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
120117, 119eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
121120breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖) ↔ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖)))
122 eluzle 11738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (ℤ𝑖) → 𝑖𝑘)
123122adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑖𝑘)
124 biimt 349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖𝑘 → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖) ↔ (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖))))
125123, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖) ↔ (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖))))
126121, 125bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → (((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖) ↔ (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖))))
127126ralbidva 3014 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)(𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖))))
128114, 127mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖))
129 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵):(ℤ𝑖)⟶ℝ → (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) Fn (ℤ𝑖))
130 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) → (𝑧 ≤ (𝐻𝑖) ↔ ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖)))
131130ralrn 6402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) Fn (ℤ𝑖) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧 ≤ (𝐻𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖)))
13285, 129, 1313syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧 ≤ (𝐻𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑖)((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ≤ (𝐻𝑖)))
133128, 132mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧 ≤ (𝐻𝑖))
134 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐻𝑖) → (𝑧𝑦𝑧 ≤ (𝐻𝑖)))
135134ralbidv 3015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝐻𝑖) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧 ≤ (𝐻𝑖)))
136135rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐻𝑖) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧 ≤ (𝐻𝑖)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧𝑦)
13777, 133, 136syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧𝑦)
138 suprcl 11021 . . . . . . . . . . . . 13 ((ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧𝑦) → sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
13987, 100, 137, 138syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
140139rexrd 10127 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ*)
14187adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
142100adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ≠ ∅)
143137adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧𝑦)
1449sseli 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
145 eluz 11739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑖) ↔ 𝑖𝑘))
14693, 144, 145syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑖) ↔ 𝑖𝑘))
147146biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑖𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑖)))
148147impr 648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑖))
149148, 120syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
15085adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵):(ℤ𝑖)⟶ℝ)
151150, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) Fn (ℤ𝑖))
152 fnfvelrn 6396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) Fn (ℤ𝑖) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵))
153151, 148, 152syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → ((𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵))
154149, 153eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵))
155 suprub 11022 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧𝑦) ∧ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
156141, 142, 143, 154, 155syl31anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ (𝑘𝑍𝑖𝑘)) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
157156expr 642 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
158157ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ∀𝑘𝑍 (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
1592limsupgle 14252 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑍 ⊆ ℝ ∧ (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ*) ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ*) → ((𝐻𝑖) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))))
160106, 107, 109, 140, 159syl211anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ((𝐻𝑖) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑖𝑘 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))))
161158, 160mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐻𝑖) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
162 suprleub 11027 . . . . . . . . . . . . 13 (((ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧𝑦) ∧ (𝐻𝑖) ∈ ℝ) → (sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ≤ (𝐻𝑖) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧 ≤ (𝐻𝑖)))
16387, 100, 137, 77, 162syl31anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ≤ (𝐻𝑖) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧 ≤ (𝐻𝑖)))
164133, 163mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ≤ (𝐻𝑖))
16578, 140, 161, 164xrletrid 12024 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐻𝑖) = sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
166165mpteq2dva 4777 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑖𝑍 ↦ (𝐻𝑖)) = (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
16774, 166eqtrd 2685 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑍) = (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
168167rneqd 5385 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝐻𝑍) = ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
16969, 168syl5eq 2697 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑍) = ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
170169infeq1d 8424 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → inf((𝐻𝑍), ℝ, < ) = inf(ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )), ℝ, < ))
17117, 68, 1703eqtrd 2689 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) = inf(ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )), ℝ, < ))
172171mpteq2dva 4777 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )), ℝ, < )))
1731, 172syl5eq 2697 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )), ℝ, < )))
174 eqid 2651 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )), ℝ, < )) = (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )), ℝ, < ))
175 eqid 2651 . . . 4 (ℤ𝑖) = (ℤ𝑖)
176 eqid 2651 . . . 4 (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )) = (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
177 simpll 805 . . . . 5 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝜑)
17880adantll 750 . . . . 5 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → 𝑛𝑍)
179 mbflimsup.5 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
180177, 178, 179syl2anc 694 . . . 4 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑖)) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
181 simpll 805 . . . . 5 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ∧ 𝑥𝐴)) → 𝜑)
18280ad2ant2lr 799 . . . . 5 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑛𝑍)
183 simprr 811 . . . . 5 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑥𝐴)
184181, 182, 183, 20syl12anc 1364 . . . 4 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ∧ 𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
18583ralrimiva 2995 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)𝐵 ∈ ℝ)
186 breq1 4688 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐵 → (𝑧𝑦𝐵𝑦))
18784, 186ralrnmpt 6408 . . . . . . . 8 (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)𝐵 ∈ ℝ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦))
188185, 187syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦))
189188rexbidv 3081 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵)𝑧𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦))
190137, 189mpbid 222 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦)
191190an32s 863 . . . 4 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)𝐵𝑦)
192175, 176, 92, 180, 184, 191mbfsup 23476 . . 3 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )) ∈ MblFn)
193139an32s 863 . . . 4 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
194193anasss 680 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑍𝑥𝐴)) → sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ∈ ℝ)
1952limsuple 14253 . . . . . . . 8 ((𝑍 ⊆ ℝ ∧ (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ* ∧ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∈ ℝ*) → ((lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ↔ ∀𝑖 ∈ ℝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑖)))
19612, 49, 50, 195syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ↔ ∀𝑖 ∈ ℝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑖)))
19747, 196mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑖 ∈ ℝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑖))
198 ssralv 3699 . . . . . 6 (𝑍 ⊆ ℝ → (∀𝑖 ∈ ℝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑖) → ∀𝑖𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑖)))
19911, 197, 198mpsyl 68 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑖𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑖))
200165breq2d 4697 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑖𝑍) → ((lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑖) ↔ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
201200ralbidva 3014 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑖𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ (𝐻𝑖) ↔ ∀𝑖𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
202199, 201mpbid 222 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑖𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
203 breq1 4688 . . . . . 6 (𝑦 = (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) → (𝑦 ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ↔ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
204203ralbidv 3015 . . . . 5 (𝑦 = (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) → (∀𝑖𝑍 𝑦 ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ) ↔ ∀𝑖𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )))
205204rspcev 3340 . . . 4 (((lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑖𝑍 (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 𝑦 ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
20624, 202, 205syl2anc 694 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖𝑍 𝑦 ≤ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < ))
2073, 174, 13, 192, 194, 206mbfinf 23477 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑖𝑍 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ (ℤ𝑖) ↦ 𝐵), ℝ, < )), ℝ, < )) ∈ MblFn)
208173, 207eqeltrd 2730 1 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  cima 5146   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  supcsup 8387  infcinf 8388  cr 9973  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cz 11415  cuz 11725  [,)cico 12215  lim supclsp 14245  MblFncmbf 23428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-xmet 19787  df-met 19788  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433
This theorem is referenced by:  mbflimlem  23479
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