MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbflim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbflim 23480
Description: The pointwise limit of a sequence of measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflim.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
mbflim.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
mbflim.4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐶)
mbflim.5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
mbflim.6 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵𝑉)
Assertion
Ref Expression
mbflim (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛,𝑥   𝑛,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)   𝑉(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem mbflim
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflim.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 mbflim.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 mbflim.4 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐶)
4 fvex 6239 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ∈ V
51, 4eqeltri 2726 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
65mptex 6527 . . . . 5 (𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ V
76a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ V)
82adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
9 mbflim.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
10 mbflim.6 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵𝑉)
1110anassrs 681 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
129, 11mbfmptcl 23449 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1312an32s 863 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
14 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑛𝑍𝐵) = (𝑛𝑍𝐵)
1513, 14fmptd 6425 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℂ)
1615ffvelrnda 6399 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℂ)
17 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
1813recld 13978 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
19 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) = (𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))
2019fvmpt2 6330 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑍 ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘𝐵))
2117, 18, 20syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘𝐵))
2214fvmpt2 6330 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑍𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
2317, 13, 22syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
2423fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)) = (ℜ‘𝐵))
2521, 24eqtr4d 2688 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
2625ralrimiva 2995 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑛𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
27 nffvmpt1 6237 . . . . . . . 8 𝑛((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘)
28 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑛
29 nffvmpt1 6237 . . . . . . . . 9 𝑛((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)
3028, 29nffv 6236 . . . . . . . 8 𝑛(ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
3127, 30nfeq 2805 . . . . . . 7 𝑛((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
32 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑘((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))
33 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛))
34 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))
3534fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
3633, 35eqeq12d 2666 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)) ↔ ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))))
3731, 32, 36cbvral 3197 . . . . . 6 (∀𝑘𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)) ↔ ∀𝑛𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑛) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
3826, 37sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑘𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)))
3938r19.21bi 2961 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵))‘𝑘) = (ℜ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)))
401, 3, 7, 8, 16, 39climre 14380 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (ℜ‘𝐵)) ⇝ (ℜ‘𝐶))
4112ismbfcn2 23451 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
429, 41mpbid 222 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn))
4342simpld 474 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
4412anasss 680 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4544recld 13978 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
461, 2, 40, 43, 45mbflimlem 23479 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn)
475mptex 6527 . . . . 5 (𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ V
4847a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ V)
4913imcld 13979 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
50 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) = (𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))
5150fvmpt2 6330 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑍 ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘𝐵))
5217, 49, 51syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘𝐵))
5323fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)) = (ℑ‘𝐵))
5452, 53eqtr4d 2688 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
5554ralrimiva 2995 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑛𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
56 nffvmpt1 6237 . . . . . . . 8 𝑛((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘)
57 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑛
5857, 29nffv 6236 . . . . . . . 8 𝑛(ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
5956, 58nfeq 2805 . . . . . . 7 𝑛((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))
60 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑘((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))
61 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛))
6234fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
6361, 62eqeq12d 2666 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)) ↔ ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))))
6459, 60, 63cbvral 3197 . . . . . 6 (∀𝑘𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)) ↔ ∀𝑛𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑛) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
6555, 64sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑘𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)))
6665r19.21bi 2961 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵))‘𝑘) = (ℑ‘((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘)))
671, 3, 48, 8, 16, 66climim 14381 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (ℑ‘𝐵)) ⇝ (ℑ‘𝐶))
6842simprd 478 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
6944imcld 13979 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
701, 2, 67, 68, 69mbflimlem 23479 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)
71 climcl 14274 . . . 4 ((𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
723, 71syl 17 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7372ismbfcn2 23451 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ MblFn)))
7446, 70, 73mpbir2and 977 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  cc 9972  cr 9973  cz 11415  cuz 11725  cre 13881  cim 13882  cli 14259  MblFncmbf 23428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-xmet 19787  df-met 19788  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433
This theorem is referenced by:  mbfmullem2  23536  mbfulm  24205
  Copyright terms: Public domain W3C validator