Theorem mbfid 23622

Description: The identity function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfid	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfid

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvresima 5784	. . . . 5 ⊢ (◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) = ((◡ I “ 𝑥) ∩ 𝐴)
2		cnvi 5695	. . . . . . . 8 ⊢ ◡ I = I
3	2	imaeq1i 5621	. . . . . . 7 ⊢ (◡ I “ 𝑥) = ( I “ 𝑥)
4		imai 5636	. . . . . . 7 ⊢ ( I “ 𝑥) = 𝑥
5	3, 4	eqtri 2782	. . . . . 6 ⊢ (◡ I “ 𝑥) = 𝑥
6	5	ineq1i 3953	. . . . 5 ⊢ ((◡ I “ 𝑥) ∩ 𝐴) = (𝑥 ∩ 𝐴)
7	1, 6	eqtri 2782	. . . 4 ⊢ (◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) = (𝑥 ∩ 𝐴)
8		ioof 12484	. . . . . . 7 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
9		ffn 6206	. . . . . . 7 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
10		ovelrn 6976	. . . . . . 7 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ* ∃𝑧 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑦(,)𝑧)))
11	8, 9, 10	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ* ∃𝑧 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑦(,)𝑧))
12		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 = (𝑦(,)𝑧))
13		ioombl 23553	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol
14	12, 13	syl6eqel 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol)
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol))
16	15	rexlimivv 3174	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ* ∃𝑧 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑦(,)𝑧) → 𝑥 ∈ dom vol)
17	11, 16	sylbi 207	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ran (,) → 𝑥 ∈ dom vol)
18		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol)
19		inmbl 23530	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ dom vol ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
20	17, 18, 19	syl2anr 496	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ dom vol)
21	7, 20	syl5eqel 2843	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol)
22	21	ralrimiva 3104	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol)
23		f1oi 6336	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
24		f1of 6299	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴
26		mblss 23519	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
27		fss 6217	. . . 4 ⊢ ((( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶ℝ)
28	25, 26, 27	sylancr 698	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶ℝ)
29		ismbf 23616	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴⟶ℝ → (( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol))
30	28, 29	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡( I ↾ 𝐴) “ 𝑥) ∈ dom vol))
31	22, 30	mpbird 247	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ( I ↾ 𝐴) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ∃wrex 3051   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  𝒫 cpw 4302   I cid 5173   × cxp 5264  ^◡ccnv 5265  dom cdm 5266  ran crn 5267   ↾ cres 5268   “ cima 5269   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  –1-1-onto→wf1o 6048  (class class class)co 6814  ℝcr 10147  ℝ^*cxr 10285  (,)cioo 12388  volcvol 23452  MblFncmbf 23602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xadd 12160  df-ioo 12392  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-xmet 19961  df-met 19962  df-ovol 23453  df-vol 23454  df-mbf 23607

This theorem is referenced by: (None)